Logaritmik Ortalama Sıcaklık Farkı (LMTD) Hesaplama

LMTD neyi ölçer?

Bir ısı eşanjöründe sıcak akışkan bir uçtan girip soğuyarak çıkar; soğuk akışkan da diğer tarafta ısınır. Buraya kadar sade. Asıl mesele şu: iki akışkan arasındaki sıcaklık farkı eşanjör boyunca aynı kalmaz. Girişte büyük olan fark çıkışa doğru daralabilir, hatta yanlış seçilmiş bir akış düzeninde beklenenden çok daha hızlı düşebilir.

LMTD, yani logaritmik ortalama sıcaklık farkı, bu değişen sıcaklık farkını tek bir hesap değerine indirir. Isı transferi hesabında kullanılan sıcaklık sürücü kuvveti gibi düşünebilirsiniz. Tasarım tarafında sık kullanılan temel ilişki şudur:

$$
Q = U \times A \times \Delta T_{lm}
$$

Burada Q ısı yükünü, U toplam ısı geçiş katsayısını, A ısı transfer alanını, ΔTlm ise logaritmik ortalama sıcaklık farkını gösterir. Bu hesaplayıcı Q, U veya alan hesabı yapmaz; yalnızca ΔTlm tarafını verir. Yani eşanjör seçiminin tamamı değil, hesabın sıcaklık farkı ayağı.

LMTD formülü şöyledir:

$$
\Delta T_{lm} =
\frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}
{\ln\left(\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}
$$

ΔT1 ve ΔT2, eşanjörün iki ucundaki sıcaklık farklarıdır. Hangi iki sıcaklığın birbirinden çıkarılacağı ise akış düzenine bağlıdır. Ters akışta başka, paralel akışta başka eşleştirme yapılır. Shell and tube ve cross flow gibi düzenlerde ise temel LMTD tek başına bırakılmaz; correction factor ile düzeltilir.

Şu ayrım önemli: LMTD bir sıcaklık değildir, sıcaklık farkıdır. Bu yüzden sonuç K olarak gösterildiğinde 53 K, sıcaklık farkı açısından 53 °C farkla aynı büyüklüğü anlatır. Giriş sıcaklıklarını °C, °F veya K olarak yazabilirsiniz; fakat aynı projede birim dilini karıştırmamak gerekir. Sahada °F ile °C’nin karıştığı tek bir tablo, bütün hesabı sessizce yamultur.

Formülün içindeki iki fark

LMTD hesabında ΔT1 ve ΔT2 pozitif olmalıdır. Biri sıfırsa logaritma ifadesi çöker. Biri negatifse, sıcak ve soğuk taraf bir uçta beklenen sırayı kaybetmiş demektir. Böyle bir durumda araç “Geçersiz sıcaklık farkı” uyarısı verir.

Ters akış için uç farkları şöyle alınır:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in}
$$

Paralel akış için eşleşme değişir:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,in}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,out}
$$

Burada h sıcak akışkanı, c soğuk akışkanı gösterir. in giriş, out çıkış demektir. Makalede bu notu uzun uzun açmaya gerek yok gibi görünür ama değerleri kutulara girerken karışıklık çoğu zaman tam burada çıkar.

Örnek verelim. Sıcak akışkan 120 °C girip 60 °C çıkıyor. Soğuk akışkan 20 °C girip 50 °C çıkıyor.

Ters akışta ΔT1 = 120 - 50 = 70 K, ΔT2 = 60 - 20 = 40 K olur. Bu iki değerle LMTD yaklaşık 53,61 K çıkar.

Aynı sıcaklıkları paralel akış diye okursanız ΔT1 = 120 - 20 = 100 K, ΔT2 = 60 - 50 = 10 K olur. LMTD bu kez yaklaşık 39,09 K’ye düşer. Sadece akış düzeni değişti. Sıcaklıklar aynı.

Bu yüzden akış tipi seçimi kozmetik bir seçenek değildir. Hesabın kendisini değiştirir.

ΔT1 ile ΔT2 birbirine çok yakınsa formülde 0’a yakın bir fark ve logaritma bölmesi oluşur. Matematiksel limitte LMTD, bu iki farkın ortak değerine yaklaşır. Araç da bu tür durumda sayısal kararsızlık üretmemek için iki farkın ortalamasına döner. Mesela iki uçta da yaklaşık 50 K fark varsa, LMTD de yaklaşık 50 K kabul edilir.

Akış türleri

Isı eşanjörlerinde akış düzeni, sıcak ve soğuk akışkanların birbirine göre nasıl hareket ettiğini anlatır. Aynı giriş-çıkış sıcaklıklarıyla farklı akış düzenlerinin farklı LMTD vermesi bu yüzden normaldir.

Aşağıdaki çizim, dört temel düzeni tek görselde göstermek için kullanılabilir.

Ters akış (counter flow)

Ters akışta sıcak ve soğuk akışkanlar birbirine zıt yönde ilerler. Sıcak akışkanın girdiği uç, soğuk akışkanın çıktığı uçla eşleşir. Diğer uçta da sıcak çıkış ile soğuk giriş karşı karşıya gelir.

Bu düzen, çoğu ısı eşanjörü hesabında iyi bir referans noktasıdır. Sıcaklık farkı eşanjör boyunca daha dengeli korunabilir. Aynı sıcaklık setinde paralel akışa göre daha yüksek LMTD vermesi bundandır.

Ters akış için uç farkları:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in}
$$

Çift borulu basit eşanjörlerde veya ters akışa yakın çalışan plakalı düzenlerde bu okuma oldukça doğrudandır. Gerçek cihazda geçişler, conta düzeni veya by-pass varsa ayrıca bakılır; ama temel mantık budur.

Paralel akış

Paralel akışta iki akışkan aynı yönde hareket eder. Sıcak ve soğuk akışkan aynı uçtan girer, aynı yönde ilerler ve diğer uçtan çıkar. Girişte sıcaklık farkı büyüktür; çıkışa doğru fark hızla daralır.

Paralel akış için uç farkları:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,in}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,out}
$$

Bu düzen bazı proseslerde kullanılabilir, ama sıcaklık yaklaşımı hızlı daraldığı için LMTD çoğu zaman ters akıştan düşük çıkar. Özellikle soğuk çıkış sıcaklığı sıcak çıkışa fazla yaklaşırsa ΔT2 küçük kalır. Hesap orada hassaslaşır.

Shell and tube

Shell and tube eşanjörde bir akışkan boruların içinden, diğer akışkan boruların dışındaki kabuk hacminden geçer. Kabuk tarafında baffle, yani şaşırtma sacı kullanılırsa akış boru demetine yönlendirilir; ısı transferi artabilir, basınç düşümü de artar. Her kazanç bir yerden ödenir.

Bu tip eşanjörlerde akış çoğu zaman saf ters akış veya saf paralel akış gibi davranmaz. Boru geçişleri, shell pass sayısı, baffle aralığı ve gövde geometrisi sıcaklık profilini değiştirir. Bu yüzden temel LMTD üzerine correction factor uygulanır.

Bu hesaplayıcı shell pass sayısını 1, 2 veya 4 olarak seçtirir. Hesapta Fakheri tipi correction factor yaklaşımı kullanılır. Özellikle 1 shell pass için temel LMTD ile corrected LMTD arasındaki fark hemen görülür; F değeri 1’den küçükse kullanılacak sıcaklık farkı düşer.

Cross flow

Cross flow düzeninde iki akışkan birbirini çapraz yönde keser. Hava-soğutucu bataryaları, kanatlı borulu eşanjörler ve bazı kompakt eşanjörlerde bu düzen sık görülür. Bir taraf borular içinden geçerken diğer taraf boru demetinin üzerinden çapraz akar.

Cross flow hesabında karışma kabulü sonucu değiştirir. İki akışkan da karışmayan olabilir. Cmin tarafı karışan, Cmax tarafı karışmayan kabul edilebilir. Tersi de mümkündür. Cmin ve Cmax, ısı kapasite debisi düşük ve yüksek olan tarafı anlatır.

Bu hesaplayıcı cross flow için etkinlik-NTU bağıntılarını kullanarak F faktörünü hesaplar. İki akışkanın da karışmadığı durumda sayısal yaklaşım gerekir; kullanıcı bunu ayrıca çözmez, sadece doğru cross flow tipini seçer. Yanlış karışma kabulü seçilirse sonuç düzgün görünür ama doğru ekipmanı anlatmayabilir.

Correction factor nedir?

Correction factor, temel LMTD’nin gerçek akış geometrisine göre düzeltilmesini sağlar. Özellikle shell and tube ve cross flow eşanjörlerde sıcaklık profili ideal ters akış kadar düzgün değildir. Bu yüzden hesapta kullanılan etkin sıcaklık farkı azaltılır.

Temel ilişki:

$$
\Delta T_{lm,corr} = F \times \Delta T_{lm}
$$

Burada F correction factor değeridir. Genellikle 0 ile 1 arasındadır. F = 1 ise düzeltme yoktur; temel LMTD aynen kullanılır. F 1’den uzaklaştıkça geometri etkisi büyür ve corrected LMTD düşer.

Daha teorik yazmak gerekirse correction factor şu oran gibi düşünülebilir:

$$
F =
\frac{\Delta T_{lm,gerçek\ düzen}}
{\Delta T_{lm,referans}}
$$

Referans çoğu zaman aynı terminal sıcaklıkları için ters akış LMTD davranışıdır. Shell and tube ve cross flow düzenleri bu referansa göre düzeltilir.

Shell and tube correction factor hesabında yaygın kullanılan boyutsuz oranlar P ve R’dir:

$$
P =
\frac{T_{c,out} - T_{c,in}}
{T_{h,in} - T_{c,in}}
$$

$$
R =
\frac{T_{h,in} - T_{h,out}}
{T_{c,out} - T_{c,in}}
$$

P, soğuk akışkanın ne kadar ısındığını başlangıçtaki maksimum sıcaklık farkına göre okur. R ise sıcak tarafın soğuma miktarını soğuk tarafın ısınma miktarına bağlar. Shell pass sayısı bu oranlarla birlikte F hesabına girer.

Cross flow tarafında aynı kadar kısa bir genel formül yazmak kolay değildir, çünkü karışma kabulü değiştikçe bağıntı değişir. Bu yüzden pratikte ya grafikler kullanılır ya da etkinlik-NTU ilişkileriyle F hesaplanır. Bu araç cross flow için ikinci yolu izler.

Burada teknik sınır net olmalı. Correction factor, kirlenme faktörü değildir. Fouling factor yüzeydeki kirlenme direncini anlatır; correction factor ise akış geometrisinin LMTD üzerindeki etkisini düzeltir. İkisi aynı tabloda yan yana gelebilir, ama aynı şey değildir.

Hesaplama örneği

Sıcak akışkan 120 °C girsin, 60 °C çıksın. Soğuk akışkan 20 °C girsin, 50 °C çıksın. Bu değerler çok temiz, evet; ama LMTD mantığını görmek için iyi.

Tablodaki fark tasarım açısından önemlidir. Ters akışta 53,61 K görülen sıcaklık farkı, shell and tube düzeltmesiyle 47,33 K’ye iner. Aynı ısı yükü ve aynı U katsayısı için daha düşük sıcaklık farkı, daha büyük ısı transfer alanı anlamına gelir.

Paralel akışta LMTD’nin 39,09 K’ye düşmesi de şaşırtıcı değildir. Girişte fark çok büyük olsa bile çıkış ucunda 10 K’ye kadar daralır. Eşanjörün tamamını 100 K’lik farkla çalışıyormuş gibi düşünmek hatalı olur.

Bu örnekte F değerlerinin ikisi de 1’in altında. Zaten düzeltmenin mantığı bu. Geometri, karışma ve çok geçişli akışlar ideal ters akış davranışını tam vermez. Araç bunu tek bir çarpanla hesaba katar.

Kullanımda dikkat edilecek teknik noktalar

İlk kontrol sıcaklıkların yönüdür. Sıcak akışkan soğuyor mu? Soğuk akışkan ısınıyor mu? Klasik eşanjör hesabında beklenen budur. Eğer sıcak akışkan çıkışta girişten daha sıcak görünüyorsa, veri etiketi ya da proses tanımı tekrar okunmalı.

İkinci kontrol ΔT1 ve ΔT2’dir. İki terminal farkı da pozitif kalmalı. Negatif veya sıfır fark varsa LMTD hesaplamak yerine giriş verisini düzeltmek gerekir. Logaritmaya zorla sayı sokmak mühendislik hesabı değildir.

Üçüncü kontrol akış düzenidir. Ters akış ile paralel akış arasındaki fark sadece çizimdeki ok yönü değildir; ΔT eşleşmesi değişir. Shell and tube seçilmişse shell pass sayısı, cross flow seçilmişse karışma tipi sonucu etkiler.

Dördüncü kontrol correction factor değeridir. F çok düşükse, corrected LMTD de düşer. Bazı tasarım pratiklerinde çok düşük F değerleri tercih edilmez; çünkü eşanjör düzeni sıcaklık sürücü kuvvetini verimsiz kullanıyor olabilir. Bu noktada üretici datasheet’i, TEMA düzeni, baffle aralığı, boru geçiş sayısı ve basınç düşümü birlikte değerlendirilir.

LMTD hesabı tek başına eşanjör seçimi yapmaz. Isı yükü, toplam ısı geçiş katsayısı, yüzey alanı, malzeme, kirlenme payı, faz değişimi ve işletme aralığı ayrıca ele alınır. Yine de dört sıcaklıktan çıkan LMTD değeri yanlışsa, sonraki hesapların düzgün olması beklenmez. Önce burayı temizlemek gerekir.