Calcul de la différence de température moyenne logarithmique (LMTD)

Que mesure le LMTD ?

Dans un échangeur de chaleur, le fluide chaud entre par une extrémité et ressort refroidi ; le fluide froid, de son côté, se réchauffe. Jusque-là, c'est simple. Le vrai problème est le suivant : la différence de température entre les deux fluides ne reste pas constante le long de l'échangeur. La différence, importante à l'entrée, peut se rétrécir vers la sortie, voire chuter bien plus rapidement que prévu si le schéma d'écoulement est mal choisi.

Le LMTD, c'est-à-dire la différence de température moyenne logarithmique, réduit cette différence de température variable en une seule valeur de calcul. On peut le voir comme la force motrice de température utilisée dans le calcul du transfert thermique. La relation de base couramment utilisée côté conception est la suivante :

$$
Q = U \times A \times \Delta T_{lm}
$$

Ici, Q désigne la charge thermique, U le coefficient global de transfert thermique, A la surface d'échange thermique et ΔTlm la différence de température moyenne logarithmique. Ce calculateur ne calcule ni Q, ni U, ni la surface ; il fournit uniquement le terme ΔTlm. Autrement dit, ce n'est pas l'ensemble de la sélection de l'échangeur, mais la composante de différence de température du calcul.

La formule du LMTD est la suivante :

$$
\Delta T_{lm} =
\frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}
{\ln\left(\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}
$$

ΔT1 et ΔT2 sont les différences de température aux deux extrémités de l'échangeur. Le choix des deux températures à soustraire dépend du schéma d'écoulement. L'appariement est différent en contre-courant et en cocourant. Dans les configurations telles que faisceau et calandre (shell and tube) et écoulement croisé (cross flow), le LMTD de base n'est pas utilisé seul ; il est corrigé par un facteur de correction.

Cette distinction est importante : le LMTD n'est pas une température, mais une différence de température. Ainsi, lorsque le résultat est affiché en K, 53 K représente la même ampleur qu'une différence de 53 °C. Vous pouvez saisir les températures d'entrée en °C, °F ou K ; mais il ne faut pas mélanger les unités dans le même projet. Un simple tableau mélangeant °F et °C sur le terrain fausse silencieusement tout le calcul.

Les deux différences dans la formule

Dans le calcul du LMTD, ΔT1 et ΔT2 doivent être positifs. Si l'un est nul, l'expression logarithmique s'effondre. Si l'un est négatif, cela signifie que les côtés chaud et froid ont perdu l'ordre attendu à une extrémité. Dans ce cas, l'outil affiche un avertissement « Différence de température invalide ».

Pour le contre-courant, les différences aux extrémités sont prises comme suit :

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in}
$$

Pour le cocourant, l'appariement change :

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,in}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,out}
$$

Ici, h désigne le fluide chaud, c le fluide froid. in signifie entrée, out sortie. Cette note semble inutile à détailler dans l'article, mais c'est souvent là que survient la confusion lors de la saisie des valeurs dans les champs.

Donnons un exemple. Le fluide chaud entre à 120 °C et sort à 60 °C. Le fluide froid entre à 20 °C et sort à 50 °C.

En contre-courant, ΔT1 = 120 - 50 = 70 K, ΔT2 = 60 - 20 = 40 K. Avec ces deux valeurs, le LMTD est d'environ 53,61 K.

Si vous interprétez les mêmes températures en cocourant, ΔT1 = 120 - 20 = 100 K, ΔT2 = 60 - 50 = 10 K. Le LMTD chute alors à environ 39,09 K. Seul le schéma d'écoulement a changé. Les températures sont identiques.

C'est pourquoi le choix du type d'écoulement n'est pas une option cosmétique. Il modifie le calcul lui-même.

Lorsque ΔT1 et ΔT2 sont très proches, la formule produit une différence proche de zéro et une division logarithmique. À la limite mathématique, le LMTD tend vers la valeur commune de ces deux différences. Pour éviter toute instabilité numérique dans ce cas, l'outil utilise la moyenne des deux différences. Par exemple, si les deux extrémités présentent une différence d'environ 50 K, le LMTD est considéré comme valant environ 50 K.

Types d'écoulement

Dans les échangeurs de chaleur, le schéma d'écoulement décrit comment les fluides chaud et froid se déplacent l'un par rapport à l'autre. Il est donc normal que différents schémas d'écoulement donnent des LMTD différents pour les mêmes températures d'entrée et de sortie.

Le schéma suivant peut être utilisé pour montrer les quatre configurations de base dans une seule image.

Contre-courant

En contre-courant, les fluides chaud et froid circulent dans des directions opposées. L'extrémité où entre le fluide chaud correspond à celle où sort le fluide froid. À l'autre extrémité, la sortie du fluide chaud et l'entrée du fluide froid se font face.

Cette configuration constitue un bon point de référence pour la plupart des calculs d'échangeurs de chaleur. La différence de température peut être maintenue de manière plus uniforme le long de l'échangeur. C'est pourquoi elle donne un LMTD plus élevé que le cocourant pour le même ensemble de températures.

Pour le contre-courant, les différences aux extrémités :

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in}
$$

Dans les simples échangeurs à double tube ou dans les configurations à plaques fonctionnant à contre-courant, cette lecture est assez directe. Si l'appareil réel comporte des passes, des joints ou un by-pass, il faut examiner ces éléments séparément ; mais la logique de base reste celle-ci.

Cocourant

En cocourant, les deux fluides se déplacent dans la même direction. Le fluide chaud et le fluide froid entrent par la même extrémité, progressent dans le même sens et sortent par l'autre extrémité. À l'entrée, la différence de température est grande ; elle se rétrécit rapidement vers la sortie.

Pour le cocourant, les différences aux extrémités :

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,in}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,out}
$$

Cette configuration peut être utilisée dans certains procédés, mais le LMTD est souvent inférieur à celui du contre-courant car la différence de température se rétrécit rapidement. En particulier, si la température de sortie du fluide froid s'approche trop de celle du fluide chaud, ΔT2 reste petit. Le calcul devient alors sensible.

Faisceau et calandre

Dans un échangeur à faisceau et calandre, un fluide circule dans les tubes et l'autre dans le volume de la calandre autour des tubes. Si des chicanes (baffles) sont utilisées côté calandre, l'écoulement est dirigé vers le faisceau tubulaire ; le transfert thermique peut augmenter, mais la perte de charge augmente aussi. Chaque gain se paie quelque part.

Dans ce type d'échangeur, l'écoulement ne se comporte souvent ni comme un pur contre-courant, ni comme un pur cocourant. Les passes côté tubes, le nombre de passes côté calandre, l'espacement des chicanes et la géométrie de la calandre modifient le profil de température. C'est pourquoi un facteur de correction est appliqué au LMTD de base.

Ce calculateur permet de choisir le nombre de passes côté calandre : 1, 2 ou 4. Il utilise l'approche du facteur de correction de type Fakheri. La différence entre le LMTD de base et le LMTD corrigé est immédiatement visible, en particulier pour une passe côté calandre ; si la valeur de F est inférieure à 1, la différence de température à utiliser diminue.

Écoulement croisé

Dans la configuration à écoulement croisé, les deux fluides se croisent perpendiculairement. Cette configuration est fréquente dans les batteries de refroidissement à air, les échangeurs à tubes ailetés et certains échangeurs compacts. Un côté circule dans les tubes tandis que l'autre s'écoule transversalement sur le faisceau.

Dans le calcul en écoulement croisé, l'hypothèse de mélange modifie le résultat. Les deux fluides peuvent être non mélangés. Le côté Cmin peut être considéré comme mélangé et le côté Cmax comme non mélangé. L'inverse est également possible. Cmin et Cmax désignent respectivement le côté ayant le débit de capacité thermique le plus faible et celui ayant le débit le plus élevé.

Ce calculateur détermine le facteur F pour l'écoulement croisé à l'aide des relations efficacité-NTU. Lorsque les deux fluides sont non mélangés, une approche numérique est nécessaire ; l'utilisateur n'a pas à la résoudre séparément, il lui suffit de choisir le bon type d'écoulement croisé. Si une mauvaise hypothèse de mélange est choisie, le résultat semble correct mais peut ne pas correspondre à l'équipement réel.

Qu'est-ce que le facteur de correction ?

Le facteur de correction permet d'ajuster le LMTD de base en fonction de la géométrie réelle de l'écoulement. En particulier dans les échangeurs à faisceau et calandre et à écoulement croisé, le profil de température n'est pas aussi uniforme que celui d'un contre-courant idéal. C'est pourquoi la différence de température effective utilisée dans le calcul est réduite.

La relation de base :

$$
\Delta T_{lm,corr} = F \times \Delta T_{lm}
$$

Ici, F est la valeur du facteur de correction. Elle est généralement comprise entre 0 et 1. Si F = 1, aucune correction n'est nécessaire ; le LMTD de base est utilisé tel quel. Plus F s'éloigne de 1, plus l'effet de la géométrie est important et plus le LMTD corrigé diminue.

Pour être plus théorique, le facteur de correction peut être considéré comme le rapport suivant :

$$
F =
\frac{\Delta T_{lm,gerçek\ düzen}}
{\Delta T_{lm,referans}}
$$

La référence est le plus souvent le comportement du LMTD en contre-courant pour les mêmes températures terminales. Les configurations à faisceau et calandre et à écoulement croisé sont corrigées par rapport à cette référence.

Dans le calcul du facteur de correction pour faisceau et calandre, les rapports sans dimension couramment utilisés sont P et R :

$$
P =
\frac{T_{c,out} - T_{c,in}}
{T_{h,in} - T_{c,in}}
$$

$$
R =
\frac{T_{h,in} - T_{h,out}}
{T_{c,out} - T_{c,in}}
$$

P indique le degré d'échauffement du fluide froid par rapport à la différence de température maximale initiale. R relie la quantité de refroidissement du côté chaud à la quantité d'échauffement du côté froid. Le nombre de passes côté calandre entre dans le calcul de F avec ces rapports.

Côté écoulement croisé, il n'est pas facile d'écrire une formule générale aussi concise, car la relation change avec l'hypothèse de mélange. En pratique, on utilise soit des graphiques, soit les relations efficacité-NTU pour calculer F. Cet outil suit la deuxième méthode pour l'écoulement croisé.

La limite technique doit être claire. Le facteur de correction n'est pas un facteur d'encrassement. Le facteur d'encrassement (fouling factor) décrit la résistance due à l'encrassement de la surface ; le facteur de correction, quant à lui, corrige l'effet de la géométrie de l'écoulement sur le LMTD. Les deux peuvent apparaître côte à côte dans le même tableau, mais ce ne sont pas la même chose.

Exemple de calcul

Prenons un fluide chaud entrant à 120 °C et sortant à 60 °C. Un fluide froid entrant à 20 °C et sortant à 50 °C. Ces valeurs sont très propres, oui, mais elles sont bonnes pour comprendre la logique du LMTD.

La différence dans le tableau est importante pour la conception. La différence de température de 53,61 K observée en contre-courant tombe à 47,33 K avec la correction du faisceau et calandre. Pour la même charge thermique et le même coefficient U, une différence de température plus faible signifie une surface d'échange plus grande.

Il n'est pas surprenant que le LMTD chute à 39,09 K en cocourant. Même si la différence à l'entrée est très grande, elle se rétrécit jusqu'à 10 K à la sortie. Il serait erroné de considérer que l'échangeur fonctionne avec une différence de 100 K sur toute sa longueur.

Dans cet exemple, les deux valeurs de F sont inférieures à 1. C'est précisément la logique de la correction. La géométrie, le mélange et les écoulements multi-passes ne reproduisent pas exactement le comportement idéal du contre-courant. L'outil en tient compte avec un seul facteur.

Points techniques à surveiller lors de l'utilisation

Le premier contrôle concerne le sens des températures. Le fluide chaud refroidit-il ? Le fluide froid se réchauffe-t-il ? C'est ce que l'on attend dans un calcul classique d'échangeur. Si le fluide chaud semble plus chaud en sortie qu'à l'entrée, l'étiquette de données ou la description du procédé doit être relue.

Le deuxième contrôle porte sur ΔT1 et ΔT2. Les deux différences terminales doivent rester positives. S'il y a une différence négative ou nulle, il faut corriger les données d'entrée au lieu de calculer le LMTD. Forcer un nombre dans un logarithme n'est pas un calcul d'ingénierie.

Le troisième contrôle concerne le schéma d'écoulement. La différence entre contre-courant et cocourant ne se limite pas au sens des flèches dans le schéma ; l'appariement des ΔT change. Si un échangeur à faisceau et calandre est sélectionné, le nombre de passes côté calandre influence le résultat ; si un écoulement croisé est sélectionné, c'est le type de mélange.

Le quatrième contrôle concerne la valeur du facteur de correction. Si F est très faible, le LMTD corrigé diminue également. Dans certaines pratiques de conception, des valeurs de F très faibles ne sont pas recommandées, car la configuration de l'échangeur peut utiliser inefficacement la force motrice de température. À ce stade, la fiche technique du fabricant, la disposition TEMA, l'espacement des chicanes, le nombre de passes des tubes et la perte de charge sont évalués ensemble.

Le calcul du LMTD ne permet pas à lui seul de choisir un échangeur. La charge thermique, le coefficient global de transfert thermique, la surface, les matériaux, la marge d'encrassement, les changements de phase et la plage de fonctionnement sont également traités séparément. Néanmoins, si la valeur du LMTD issue des quatre températures est incorrecte, on ne peut pas s'attendre à ce que les calculs suivants soient corrects. Il faut d'abord clarifier ce point.