Kalkulator logarytmicznej średniej różnicy temperatur (LMTD)

Co mierzy LMTD?

W wymienniku ciepła gorący płyn wpływa z jednej strony i ochładza się wychodząc; zimny płyn nagrzewa się po drugiej stronie. Na razie proste. Sedno sprawy: różnica temperatur między dwoma płynami nie pozostaje stała na długości wymiennika. Różnica duża na wlocie może zwężać się w kierunku wylotu, a nawet w niewłaściwie dobranym układzie przepływu może spaść znacznie szybciej niż oczekiwano.

LMTD, czyli logarytmiczna średnia różnica temperatur, sprowadza tę zmienną różnicę temperatur do jednej wartości obliczeniowej. Można ją postrzegać jako siłę napędową temperaturową używaną w obliczeniach wymiany ciepła. Podstawowa zależność często używana w projektowaniu to:

$$
Q = U \times A \times \Delta T_{lm}
$$

Tutaj Q oznacza obciążenie cieplne, U współczynnik przenikania ciepła, A powierzchnię wymiany ciepła, a ΔTlm logarytmiczną średnią różnicę temperatur. Ten kalkulator nie oblicza Q, U ani powierzchni; podaje tylko składnik ΔTlm. To nie cała selekcja wymiennika, a jedynie etap różnicy temperatur w obliczeniach.

Wzór LMTD jest następujący:

$$
\Delta T_{lm} =
\frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}
{\ln\left(\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}
$$

ΔT1 i ΔT2 to różnice temperatur na dwóch końcach wymiennika. Które dwie temperatury są od siebie odejmowane zależy od układu przepływu. W przepływie przeciwprądowym zestawienie jest inne, a w równoległym inne. W układach takich jak płaszczowo-rurowy czy krzyżowy, podstawowy LMTD nie jest zostawiany sam; jest korygowany współczynnikiem poprawkowym.

To rozróżnienie jest ważne: LMTD nie jest temperaturą, lecz różnicą temperatur. Dlatego gdy wynik jest podawany w K, 53 K oznacza tę samą wielkość co różnica 53 °C. Można podać temperatury wejściowe w °C, °F lub K; ale w jednym projekcie nie należy mieszać jednostek. Jedna tabela, w której pomieszano °F i °C, po cichu wypacza całe obliczenia.

Dwie różnice we wzorze

W obliczeniach LMTD, ΔT1 i ΔT2 muszą być dodatnie. Jeśli któreś jest równe zero, wyrażenie logarytmiczne się załamuje. Jeśli któreś jest ujemne, oznacza to, że strona gorąca i zimna na jednym końcu straciły oczekiwaną kolejność. W takiej sytuacji narzędzie wyświetla ostrzeżenie „Nieprawidłowa różnica temperatur”.

Dla przepływu przeciwprądowego różnice końcowe przyjmuje się następująco:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in}
$$

Dla przepływu równoległego zestawienie się zmienia:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,in}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,out}
$$

Tutaj h oznacza płyn gorący, c płyn zimny. in to wlot, out to wylot. W artykule może się wydawać, że nie trzeba tego długo tłumaczyć, ale przy wpisywaniu wartości do pól zamieszanie często pojawia się właśnie tutaj.

Podajmy przykład. Płyn gorący wchodzi z temperaturą 120 °C i wychodzi z 60 °C. Płyn zimny wchodzi z 20 °C i wychodzi z 50 °C.

W przepływie przeciwprądowym ΔT1 = 120 - 50 = 70 K, ΔT2 = 60 - 20 = 40 K. Przy tych dwóch wartościach LMTD wynosi około 53,61 K.

Jeśli te same temperatury odczytasz jako przepływ równoległy, to ΔT1 = 120 - 20 = 100 K, ΔT2 = 60 - 50 = 10 K. LMTD tym razem spada do około 39,09 K. Zmienił się tylko układ przepływu. Temperatury są takie same.

Dlatego wybór typu przepływu nie jest opcją kosmetyczną. Zmienia samo obliczenie.

Jeśli ΔT1 i ΔT2 są do siebie bardzo zbliżone, we wzorze pojawia się różnica bliska 0 i dzielenie przez logarytm. W granicy matematycznej LMTD dąży do wspólnej wartości tych dwóch różnic. Narzędzie również w takim przypadku, aby nie generować niestabilności numerycznej, przechodzi na średnią z dwóch różnic. Na przykład, jeśli na obu końcach różnica wynosi około 50 K, przyjmuje się LMTD około 50 K.

Typy przepływu

Układ przepływu w wymiennikach ciepła opisuje, jak płyn gorący i zimny poruszają się względem siebie. To normalne, że przy tych samych temperaturach wejścia-wyjścia różne układy przepływu dają różne LMTD.

Poniższy rysunek można wykorzystać, aby pokazać cztery podstawowe układy na jednym obrazie.

Przepływ przeciwprądowy (counter flow)

W przepływie przeciwprądowym płyn gorący i zimny poruszają się w przeciwnych kierunkach. Koniec, do którego wpływa płyn gorący, pokrywa się z końcem, z którego wypływa płyn zimny. Na drugim końcu gorący wylot napotyka zimny wlot.

Ten układ jest dobrym punktem odniesienia w większości obliczeń wymienników ciepła. Różnica temperatur może być utrzymywana bardziej równomiernie na długości wymiennika. Dlatego dla tego samego zestawu temperatur daje wyższe LMTD niż przepływ równoległy.

Dla przepływu przeciwprądowego różnice końcowe:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in}
$$

W prostych wymiennikach dwururowych lub w układach płytowych pracujących blisko przeciwprądu ten odczyt jest dość bezpośredni. W rzeczywistym urządzeniu, jeśli występują przegrody, układ uszczelek lub obejścia, należy sprawdzić to osobno; ale podstawowa logika jest ta.

Przepływ równoległy

W przepływie równoległym oba płyny poruszają się w tym samym kierunku. Płyn gorący i zimny wchodzą z tego samego końca, poruszają się w tym samym kierunku i wychodzą na drugim końcu. Na wlocie różnica temperatur jest duża; w kierunku wylotu szybko się zwęża.

Dla przepływu równoległego różnice końcowe:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,in}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,out}
$$

Ten układ może być używany w niektórych procesach, ale ponieważ podejście temperatur szybko się zwęża, LMTD jest często niższe niż w przepływie przeciwprądowym. Zwłaszcza gdy temperatura wylotowa zimnego płynu zbytnio zbliża się do temperatury wylotowej gorącego, ΔT2 pozostaje małe. Obliczenia stają się tam wrażliwe.

Płaszczowo-rurowy (shell and tube)

W wymienniku płaszczowo-rurowym jeden płyn przepływa przez rury, a drugi przez objętość płaszcza wokół rur. Jeśli po stronie płaszcza zastosuje się przegrody (baffle), przepływ jest kierowany na pęczek rur; wymiana ciepła może wzrosnąć, ale rośnie też spadek ciśnienia. Każdy zysk jest gdzieś okupiony.

W tego typu wymiennikach przepływ często nie zachowuje się jak czysty przeciwprąd ani czysty współprąd. Przejścia rurowe, liczba przelotów po stronie płaszcza, odstęp przegród i geometria płaszcza zmieniają profil temperatur. Dlatego do podstawowego LMTD stosuje się współczynnik poprawkowy.

Ten kalkulator pozwala wybrać liczbę przelotów płaszcza jako 1, 2 lub 4. W obliczeniach stosowane jest podejście współczynnika poprawkowego typu Fakheri. Zwłaszcza dla 1 przelotu płaszcza różnica między podstawowym LMTD a skorygowanym LMTD jest natychmiast widoczna; jeśli wartość F jest mniejsza od 1, używana różnica temperatur maleje.

Przepływ krzyżowy

W układzie przepływu krzyżowego oba płyny przecinają się pod kątem prostym. Ten układ jest często spotykany w chłodnicach powietrza, wymiennikach z rurami ożebrowanymi i niektórych wymiennikach kompaktowych. Jedna strona przepływa przez rury, a druga przepływa krzyżowo po pęczku rur.

W obliczeniach przepływu krzyżowego założenie o mieszaniu zmienia wynik. Oba płyny mogą być niemieszające się. Można przyjąć, że strona Cmin się miesza, a Cmax nie. Możliwa jest też odwrotna sytuacja. Cmin i Cmax oznaczają stronę o niższym i wyższym strumieniu pojemności cieplnej.

Ten kalkulator oblicza współczynnik F dla przepływu krzyżowego, korzystając z zależności efektywność-NTU. W przypadku, gdy oba płyny nie mieszają się, konieczne jest podejście numeryczne; użytkownik nie rozwiązuje tego osobno, tylko wybiera właściwy typ przepływu krzyżowego. Jeśli wybierze błędne założenie o mieszaniu, wynik będzie wyglądał poprawnie, ale może nie opisywać właściwego sprzętu.

Co to jest współczynnik poprawkowy?

Współczynnik poprawkowy umożliwia skorygowanie podstawowego LMTD zgodnie z rzeczywistą geometrią przepływu. Zwłaszcza w wymiennikach płaszczowo-rurowych i przy przepływie krzyżowym profil temperatur nie jest tak równy jak w idealnym przeciwprądzie. Dlatego efektywna różnica temperatur używana w obliczeniach jest zmniejszana.

Podstawowa zależność:

$$
\Delta T_{lm,corr} = F \times \Delta T_{lm}
$$

Tutaj F to wartość współczynnika poprawkowego. Zwykle mieści się w zakresie od 0 do 1. Gdy F = 1, nie ma korekty; podstawowy LMTD jest używany bez zmian. Im bardziej F oddala się od 1, tym większy wpływ geometrii i tym niższe skorygowane LMTD.

Jeśli zapisać to bardziej teoretycznie, współczynnik poprawkowy można postrzegać jako następujący stosunek:

$$
F =
\frac{\Delta T_{lm,gerçek\ düzen}}
{\Delta T_{lm,referans}}
$$

Referencją jest często zachowanie LMTD dla przepływu przeciwprądowego przy tych samych temperaturach końcowych. Układy płaszczowo-rurowe i krzyżowe są korygowane względem tej referencji.

W obliczeniach współczynnika poprawkowego dla wymienników płaszczowo-rurowych powszechnie stosowane są bezwymiarowe stosunki P i R:

$$
P =
\frac{T_{c,out} - T_{c,in}}
{T_{h,in} - T_{c,in}}
$$

$$
R =
\frac{T_{h,in} - T_{h,out}}
{T_{c,out} - T_{c,in}}
$$

P odnosi się do tego, jak bardzo zimny płyn się nagrzał, w stosunku do początkowej maksymalnej różnicy temperatur. R natomiast wiąże wielkość ochłodzenia strony gorącej z wielkością ogrzania strony zimnej. Liczba przelotów płaszcza wraz z tymi stosunkami wchodzi do obliczeń F.

Po stronie przepływu krzyżowego nie jest łatwo napisać tak zwięzłego ogólnego wzoru, ponieważ zależność zmienia się wraz z przyjętym założeniem o mieszaniu. Dlatego w praktyce używa się albo wykresów, albo oblicza F za pomocą zależności efektywność-NTU. To narzędzie dla przepływu krzyżowego wybiera drugą drogę.

Tutaj granica techniczna musi być jasna. Współczynnik poprawkowy to nie współczynnik zanieczyszczenia. Fouling factor opisuje opór spowodowany zabrudzeniem powierzchni; współczynnik poprawkowy natomiast koryguje wpływ geometrii przepływu na LMTD. Oba mogą wystąpić obok siebie w tej samej tabeli, ale to nie to samo.

Przykład obliczeniowy

Niech płyn gorący wchodzi z temperaturą 120 °C i wychodzi z 60 °C. Płyn zimny wchodzi z 20 °C i wychodzi z 50 °C. Te wartości są bardzo czyste, owszem; ale dobre do zobaczenia logiki LMTD.

Różnica w tabeli jest istotna z punktu widzenia projektowania. Różnica temperatur widoczna w przepływie przeciwprądowym, 53,61 K, po korekcie dla wymiennika płaszczowo-rurowego spada do 47,33 K. Dla tego samego obciążenia cieplnego i tego samego współczynnika U niższa różnica temperatur oznacza większą powierzchnię wymiany ciepła.

Spadek LMTD do 39,09 K w przepływie równoległym nie jest zaskakujący. Nawet jeśli na wlocie różnica jest bardzo duża, na końcu wylotowym zwęża się do 10 K. Błędem byłoby myśleć, że cały wymiennik pracuje z różnicą 100 K.

W tym przykładzie obie wartości F są poniżej 1. Taka właśnie jest logika korekty. Geometria, mieszanie i przepływy wieloprzelotowe nie oddają w pełni idealnego zachowania przeciwprądowego. Narzędzie uwzględnia to za pomocą jednego mnożnika.

Techniczne punkty, na które należy zwrócić uwagę podczas użytkowania

Pierwsza kontrola dotyczy kierunku temperatur. Czy płyn gorący się ochładza? Czy płyn zimny się nagrzewa? Tego oczekuje się w klasycznych obliczeniach wymiennika. Jeśli płyn gorący na wylocie wydaje się cieplejszy niż na wlocie, należy ponownie przeczytać etykietę danych lub opis procesu.

Druga kontrola dotyczy ΔT1 i ΔT2. Obie różnice końcowe muszą pozostać dodatnie. Jeśli różnica jest ujemna lub zerowa, zamiast obliczać LMTD należy poprawić dane wejściowe. Wpychanie liczb na siłę do logarytmu nie jest obliczeniem inżynierskim.

Trzecia kontrola dotyczy układu przepływu. Różnica między przepływem przeciwprądowym a równoległym to nie tylko kierunek strzałek na rysunku; zmienia się zestawienie ΔT. Jeśli wybrano wymiennik płaszczowo-rurowy, liczba przelotów płaszcza ma wpływ; jeśli wybrano przepływ krzyżowy, wpływ ma typ mieszania.

Czwarta kontrola dotyczy wartości współczynnika poprawkowego. Jeśli F jest bardzo niskie, skorygowane LMTD również spada. W niektórych praktykach projektowych bardzo niskie wartości F nie są preferowane, ponieważ układ wymiennika może nieefektywnie wykorzystywać siłę napędową temperaturową. W tym miejscu należy ocenić razem kartę katalogową producenta, układ TEMA, odstęp przegród, liczbę przejść rurowych i spadek ciśnienia.

Obliczenie LMTD samo w sobie nie wybiera wymiennika. Obciążenie cieplne, całkowity współczynnik przenikania ciepła, powierzchnia, materiał, margines zabrudzenia, zmiana fazy i zakres roboczy są rozpatrywane osobno. Niemniej jednak, jeśli wartość LMTD uzyskana z czterech temperatur jest błędna, nie można oczekiwać, że kolejne obliczenia będą poprawne. Najpierw trzeba uporządkować ten element.