Logarithmische mittlere Temperaturdifferenz (LMTD) berechnen
Berechnen Sie den LMTD-Wert für Wärmetauscher mit counter flow, parallel flow, shell-and-tube und crossflow.
Was misst die LMTD?
In einem Wärmeübertrager tritt das heiße Fluid an einem Ende ein, kühlt ab und tritt wieder aus; das kalte Fluid erwärmt sich auf der anderen Seite. So weit, so einfach. Das eigentliche Problem: Die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Fluiden bleibt entlang des Wärmeübertragers nicht konstant. Die anfänglich große Differenz kann zum Auslass hin abnehmen, und bei einem ungünstig gewählten Strömungsmuster sogar viel schneller fallen als erwartet.
Die LMTD, also die logarithmische mittlere Temperaturdifferenz, reduziert diese veränderliche Temperaturdifferenz auf einen einzigen Rechenwert. Sie kann als die treibende Temperaturdifferenz für die Wärmeübertragungsberechnung betrachtet werden. Die im Entwurf häufig verwendete Grundbeziehung lautet:
$$
Q = U \times A \times \Delta T_{lm}
$$
Hierbei steht Q für die Wärmelast, U für den gesamten Wärmedurchgangskoeffizienten, A für die Wärmeübertragungsfläche und ΔTlm für die logarithmische mittlere Temperaturdifferenz. Dieser Rechner berechnet weder Q, U noch die Fläche; er liefert nur den ΔTlm-Anteil. Es ist also nicht die gesamte Wärmeübertragerauswahl, sondern nur die Temperaturdifferenzseite der Berechnung.
Die Formel für die LMTD lautet:
$$
\Delta T_{lm} =
\frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}
{\ln\left(\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}
$$
ΔT1 und ΔT2 sind die Temperaturdifferenzen an den beiden Enden des Wärmeübertragers. Welche beiden Temperaturen voneinander subtrahiert werden, hängt von der Strömungsführung ab. Bei Gegenstrom wird anders zugeordnet als bei Gleichstrom. Bei Anordnungen wie Shell-and-Tube und Kreuzstrom wird die grundlegende LMTD nicht allein gelassen; sie wird mit einem Korrekturfaktor korrigiert.
Ein wichtiger Unterschied: Die LMTD ist keine Temperatur, sondern eine Temperaturdifferenz. Wenn das Ergebnis daher in K angegeben wird, entspricht 53 K derselben Größe wie eine Temperaturdifferenz von 53 °C. Sie können die Eingangstemperaturen in °C, °F oder K eingeben; aber innerhalb desselben Projekts sollten Sie die Einheiten nicht vermischen. Eine einzige Tabelle, in der °F und °C gemischt werden, verfälscht leise die gesamte Berechnung.
Die beiden Differenzen in der Formel
Bei der LMTD-Berechnung müssen ΔT1 und ΔT2 positiv sein. Ist eine von beiden null, bricht der Logarithmus-Ausdruck zusammen. Ist eine negativ, bedeutet das, dass die heiße und die kalte Seite an einem Ende die erwartete Reihenfolge verloren haben. In einem solchen Fall gibt das Tool die Warnung „Ungültige Temperaturdifferenz“ aus.
Für Gegenstrom werden die Enddifferenzen wie folgt bestimmt:
$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out}
$$
$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in}
$$
Für Gleichstrom ändert sich die Zuordnung:
$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,in}
$$
$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,out}
$$
Hier bezeichnet h das heiße Fluid, c das kalte Fluid. „in“ bedeutet Eintritt, „out“ bedeutet Austritt. Im Artikel mag es unnötig erscheinen, dies ausführlich zu erklären, aber die Verwechslungsgefahr liegt genau hier, wenn Sie die Werte in die Felder eingeben.
Nehmen wir ein Beispiel. Das heiße Fluid tritt mit 120 °C ein und verlässt den Wärmeübertrager mit 60 °C. Das kalte Fluid tritt mit 20 °C ein und verlässt ihn mit 50 °C.
Bei Gegenstrom ergibt sich ΔT1 = 120 − 50 = 70 K und ΔT2 = 60 − 20 = 40 K. Mit diesen beiden Werten ergibt sich die LMTD zu etwa 53,61 K.
Wenn Sie dieselben Temperaturen als Gleichstrom lesen, erhalten Sie ΔT1 = 120 − 20 = 100 K und ΔT2 = 60 − 50 = 10 K. Die LMTD sinkt dann auf etwa 39,09 K. Nur die Strömungsführung hat sich geändert. Die Temperaturen sind gleich.
Daher ist die Wahl der Strömungsart keine kosmetische Option. Sie verändert die Berechnung selbst.
Wenn ΔT1 und ΔT2 sehr nahe beieinanderliegen, entsteht in der Formel eine Differenz nahe null und eine Division durch den Logarithmus. Im mathematischen Grenzfall nähert sich die LMTD dem gemeinsamen Wert der beiden Differenzen. Um in einem solchen Fall keine numerische Instabilität zu erzeugen, verwendet das Werkzeug den Durchschnitt der beiden Differenzen. Wenn zum Beispiel an beiden Enden eine Differenz von etwa 50 K vorliegt, wird die LMTD ebenfalls mit etwa 50 K angenommen.
Strömungsarten
Die Strömungsführung in Wärmeübertragern beschreibt, wie sich das heiße und das kalte Fluid relativ zueinander bewegen. Dass unterschiedliche Strömungsführungen bei denselben Ein- und Austrittstemperaturen unterschiedliche LMTD-Werte liefern, ist daher normal.
Die folgende Abbildung kann verwendet werden, um die vier Grundanordnungen in einem einzigen Bild darzustellen.
Gegenstrom (counter flow)
Beim Gegenstrom bewegen sich das heiße und das kalte Fluid in entgegengesetzte Richtungen. Das Ende, an dem das heiße Fluid eintritt, entspricht dem Ende, an dem das kalte Fluid austritt. Am anderen Ende stehen heißer Austritt und kalter Eintritt einander gegenüber.
Diese Anordnung ist in den meisten Wärmeübertrager-Berechnungen ein guter Bezugspunkt. Die Temperaturdifferenz kann über den Wärmeübertrager gleichmäßiger aufrechterhalten werden. Daher ergibt sich bei denselben Temperatursätzen eine höhere LMTD als bei Gleichstrom.
Für Gegenstrom lauten die Enddifferenzen:
$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out}
$$
$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in}
$$
Bei einfachen Doppelrohr-Wärmeübertragern oder Plattenanordnungen, die nahe am Gegenstrom arbeiten, ist diese Betrachtung ziemlich direkt. Wenn im realen Gerät Überführungen, Dichtungsanordnungen oder Bypässe vorhanden sind, wird dies gesondert betrachtet; aber das Grundprinzip ist dies.
Gleichstrom
Beim Gleichstrom bewegen sich beide Fluide in dieselbe Richtung. Heißes und kaltes Fluid treten am selben Ende ein, strömen in dieselbe Richtung und treten am anderen Ende aus. Am Eintritt ist die Temperaturdifferenz groß; zum Austritt hin nimmt sie schnell ab.
Für Gleichstrom lauten die Enddifferenzen:
$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,in}
$$
$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,out}
$$
Diese Anordnung kann in einigen Prozessen verwendet werden, aber weil sich die Temperaturdifferenz schnell verringert, ist die LMTD meist niedriger als bei Gegenstrom. Insbesondere wenn sich die kalte Austrittstemperatur der heißen Austrittstemperatur stark nähert, bleibt ΔT2 klein. Dort wird die Berechnung empfindlich.
Rohrbündelwärmeübertrager (Shell and tube)
Bei einem Rohrbündelwärmeübertrager strömt ein Fluid durch die Rohre, das andere durch den Mantelraum außerhalb der Rohre. Wenn auf der Mantelseite Umlenkbleche (Baffles) verwendet werden, wird die Strömung auf das Rohrbündel gelenkt; die Wärmeübertragung kann verbessert werden, gleichzeitig steigt aber der Druckverlust. Jeder Gewinn hat seinen Preis.
Bei diesen Wärmeübertragern verhält sich die Strömung oft nicht wie reiner Gegenstrom oder reiner Gleichstrom. Rohrdurchgänge, die Anzahl der Mantelumläufe, der Baffle-Abstand und die Mantelgeometrie verändern das Temperaturprofil. Daher wird auf die grundlegende LMTD ein Korrekturfaktor angewendet.
Dieser Rechner lässt die Anzahl der Mantelumläufe (Shell-Pässe) als 1, 2 oder 4 wählen. In der Berechnung wird der Korrekturfaktor-Ansatz nach Fakheri verwendet. Besonders bei einem Mantelumlauf ist der Unterschied zwischen der grundlegenden LMTD und der korrigierten LMTD sofort sichtbar; wenn der F-Wert kleiner als 1 ist, sinkt die nutzbare Temperaturdifferenz.
Kreuzstrom
Bei der Kreuzstromanordnung kreuzen sich die beiden Fluide in Querrichtung. Diese Anordnung ist häufig bei Luftkühlern, Rippenrohr-Wärmeübertragern und einigen Kompaktwärmeübertragern zu finden. Die eine Seite strömt durch die Rohre, die andere strömt quer über das Rohrbündel.
In der Kreuzstromberechnung verändert die Mischungsannahme das Ergebnis. Beide Fluide können unvermischt sein. Es kann angenommen werden, dass die Cmin-Seite vermischt und die Cmax-Seite unvermischt ist. Auch das Gegenteil ist möglich. Cmin und Cmax bezeichnen die Seite mit dem niedrigeren bzw. höheren Wärmekapazitätsstrom.
Dieser Rechner berechnet den F-Faktor für Kreuzstrom mithilfe der NTU-Effektivitäts-Beziehungen. Wenn beide Fluide unvermischt sind, ist eine numerische Näherung erforderlich; der Benutzer muss das nicht selbst lösen, sondern nur den richtigen Kreuzstromtyp wählen. Wenn eine falsche Mischungsannahme gewählt wird, sieht das Ergebnis plausibel aus, kann aber die tatsächliche Anlage nicht richtig beschreiben.
Was ist der Korrekturfaktor?
Der Korrekturfaktor dient dazu, die grundlegende LMTD an die tatsächliche Strömungsgeometrie anzupassen. Insbesondere bei Rohrbündel- und Kreuzstromwärmeübertragern ist das Temperaturprofil nicht so gleichmäßig wie beim idealen Gegenstrom. Daher wird die effektiv genutzte Temperaturdifferenz reduziert.
Die Grundbeziehung:
$$
\Delta T_{lm,corr} = F \times \Delta T_{lm}
$$
Hier ist F der Korrekturfaktor. Er liegt in der Regel zwischen 0 und 1. Wenn F = 1 ist, ist keine Korrektur erforderlich; die grundlegende LMTD wird unverändert verwendet. Je weiter F von 1 abweicht, desto größer ist der Geometrieeinfluss und desto geringer ist die korrigierte LMTD.
Wenn man es etwas theoretischer schreiben möchte, kann der Korrekturfaktor als das folgende Verhältnis betrachtet werden:
$$
F =
\frac{\Delta T_{lm,gerçek\ düzen}}
{\Delta T_{lm,referans}}
$$
Die Referenz ist meist die LMTD des Gegenstroms bei denselben Endtemperaturen. Rohrbündel- und Kreuzstromanordnungen werden auf dieser Grundlage korrigiert.
Bei der Korrekturfaktor-Berechnung für Rohrbündelwärmeübertrager werden üblicherweise die dimensionslosen Verhältnisse P und R verwendet:
$$
P =
\frac{T_{c,out} - T_{c,in}}
{T_{h,in} - T_{c,in}}
$$
$$
R =
\frac{T_{h,in} - T_{h,out}}
{T_{c,out} - T_{c,in}}
$$
P gibt an, wie stark das kalte Fluid im Verhältnis zur anfänglichen maximalen Temperaturdifferenz erwärmt wird. R setzt die Abkühlung der heißen Seite ins Verhältnis zur Erwärmung der kalten Seite. Die Anzahl der Mantelumläufe fließt zusammen mit diesen Verhältnissen in die F-Berechnung ein.
Für Kreuzstrom lässt sich eine so kurze allgemeine Formel nur schwer aufstellen, da sich die Beziehung mit der Mischungsannahme ändert. In der Praxis verwendet man daher entweder Diagramme oder berechnet F über die Effektivitäts-NTU-Beziehungen. Dieses Werkzeug geht für Kreuzstrom den zweiten Weg.
Hier muss die technische Abgrenzung klar sein. Der Korrekturfaktor ist nicht der Verschmutzungsfaktor. Der Fouling-Faktor beschreibt den Widerstand durch Ablagerungen auf der Oberfläche; der Korrekturfaktor korrigiert dagegen den Einfluss der Strömungsgeometrie auf die LMTD. Beide können in derselben Tabelle nebeneinander stehen, sind aber nicht dasselbe.
Berechnungsbeispiel
Das heiße Fluid trete mit 120 °C ein und mit 60 °C aus. Das kalte Fluid trete mit 20 °C ein und mit 50 °C aus. Die Werte sind sehr klar, ja; aber sie eignen sich gut, um die Logik der LMTD zu veranschaulichen.
| Strömungsart | ΔT1 | ΔT2 | Basis-LMTD | F | Zu verwendender Wert |
|---|---|---|---|---|---|
| Gegenstrom | 70 K | 40 K | 53,61 K | 1,0000 | 53,61 K |
| Gleichstrom | 100 K | 10 K | 39,09 K | 1,0000 | 39,09 K |
| Rohrbündel, 1 Mantelumlauf | 70 K | 40 K | 53,61 K | 0,8829 | 47,33 K |
| Kreuzstrom, beide Fluide unvermischt | 70 K | 40 K | 53,61 K | 0,9273 | 49,71 K |
Der Unterschied in der Tabelle ist aus konstruktiver Sicht bedeutsam. Die beim Gegenstrom sichtbare Temperaturdifferenz von 53,61 K sinkt mit der Rohrbündel-Korrektur auf 47,33 K. Bei gleicher Wärmelast und gleichem U-Wert bedeutet eine geringere Temperaturdifferenz eine größere Wärmeübertragungsfläche.
Dass die LMTD bei Gleichstrom auf 39,09 K sinkt, ist nicht überraschend. Selbst wenn die Differenz am Eintritt sehr groß ist, verengt sie sich am Austritt auf 10 K. Es wäre ein Fehler anzunehmen, der Wärmeübertrager arbeite durchgehend mit einer Differenz von 100 K.
In diesem Beispiel liegen beide F-Werte unter 1. Genau darin liegt der Sinn der Korrektur. Geometrie, Mischung und mehrgängige Strömungen bilden das ideale Gegenstromverhalten nicht vollständig ab. Das Werkzeug berücksichtigt dies mit einem einzigen Faktor.
Technische Hinweise zur Verwendung
Der erste Check betrifft die Richtung der Temperaturen. Wird das heiße Fluid abgekühlt? Wird das kalte Fluid erwärmt? Das ist in der klassischen Wärmeübertragerberechnung zu erwarten. Wenn das heiße Fluid am Austritt heißer als am Eintritt erscheint, sollten Datenlabel oder Prozessbeschreibung erneut gelesen werden.
Der zweite Check betrifft ΔT1 und ΔT2. Beide Enddifferenzen müssen positiv bleiben. Wenn eine Differenz negativ oder null ist, sollte anstelle der LMTD-Berechnung die Eingangsdaten korrigiert werden. Zahlen gewaltsam in einen Logarithmus zu zwingen, ist keine Ingenieursberechnung.
Der dritte Check betrifft die Strömungsführung. Der Unterschied zwischen Gegenstrom und Gleichstrom liegt nicht nur in der Pfeilrichtung in der Zeichnung; die Zuordnung der ΔT ändert sich. Wenn Rohrbündel gewählt wird, beeinflusst die Anzahl der Mantelumläufe das Ergebnis; bei Kreuzstrom ist es die Art der Vermischung.
Der vierte Check betrifft den Korrekturfaktor. Wenn F sehr niedrig ist, sinkt auch die korrigierte LMTD. In manchen Auslegungspraktiken sind sehr niedrige F-Werte nicht erwünscht, da die Wärmeübertrageranordnung die treibende Temperaturdifferenz ineffizient nutzen könnte. An dieser Stelle werden Herstellerdatenblatt, TEMA-Ausführung, Baffle-Abstand, Anzahl der Rohrdurchgänge und Druckverlust gemeinsam bewertet.
Die LMTD-Berechnung allein trifft keine Wärmeübertragerauswahl. Wärmelast, gesamter Wärmedurchgangskoeffizient, Oberfläche, Material, Verschmutzungsreserve, Phasenwechsel und Betriebsbereich werden separat behandelt. Ist jedoch der aus vier Temperaturen ermittelte LMTD-Wert falsch, ist nicht zu erwarten, dass die nachfolgenden Berechnungen korrekt sind. Zuerst muss dieser Bereich bereinigt werden.