حساب فرق درجة الحرارة المتوسط اللوغاريتمي (LMTD)

ما الذي يقيسه LMTD؟

في المبادل الحراري، يدخل السائل الساخن من أحد الطرفين ويخرج بعد أن يبرد، بينما يسخن السائل البارد في الجانب الآخر. حتى هنا الأمر بسيط. المسألة الأساسية هي: الفرق في درجة الحرارة بين السائلين لا يظل ثابتًا على طول المبادل. الفرق الكبير عند المدخل قد يتقلص عند الخروج، بل وقد ينخفض أسرع بكثير من المتوقع في حالة توزيع تدفق تم اختياره بشكل خاطئ.

LMTD، أي متوسط الفرق اللوغاريتمي لدرجات الحرارة، يختزل هذا الفرق المتغير إلى قيمة حسابية واحدة. يمكنك اعتباره القوة الدافعة الحرارية المستخدمة في حساب انتقال الحرارة. العلاقة الأساسية الشائعة في جانب التصميم هي:

$$
Q = U \times A \times \Delta T_{lm}
$$

هنا، Q تعني الحمل الحراري، وU معامل انتقال الحرارة الكلي، وA مساحة انتقال الحرارة، وΔTlm متوسط الفرق اللوغاريتمي لدرجات الحرارة. لا تقوم هذه الحاسبة بحساب Q أو U أو المساحة؛ بل تقدم فقط قيمة ΔTlm. أي أنها ليست كامل اختيار المبادل، بل جزء فرق درجات الحرارة من الحساب.

صيغة LMTD هي:

$$
\Delta T_{lm} =
\frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}
{\ln\left(\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}
$$

ΔT1 وΔT2 هما فرقا درجات الحرارة عند طرفي المبادل. أما أي درجتي حرارة تُطرح من بعضهما فيعتمد على نمط التدفق. في التدفق المعاكس يكون الاقتران مختلفًا عنه في التدفق الموازي. في الأنماط مثل الغلاف والأنبوب والتدفق المتقاطع، لا يُترك LMTD الأساسي وحده، بل يُصحح باستخدام عامل تصحيح.

هذا التمييز مهم: LMTD ليس درجة حرارة، بل فرق درجات حرارة. لذلك عندما تُعرض النتيجة بوحدة K، فإن 53 K تعبر عن نفس مقدار فرق 53 درجة مئوية. يمكنك إدخال درجات حرارة المدخل بـ °C أو °F أو K، لكن يجب عدم خلط وحدات اللغة في نفس المشروع. جدول واحد يخلط °F و°C في الميدان قد يشوه الحساب كله بصمت.

الفرقان داخل الصيغة

في حساب LMTD، يجب أن يكون ΔT1 وΔT2 موجبين. إذا كان أحدهما صفرًا، تنهار العبارة اللوغاريتمية. وإذا كان أحدهما سالبًا، فهذا يعني أن الجانب الساخن والبارد فقدا الترتيب المتوقع عند أحد الطرفين. في هذه الحالة، تعرض الأداة تحذيرًا: "فرق درجة حرارة غير صالح".

بالنسبة للتدفق المعاكس، تؤخذ فروق الأطراف كالتالي:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in}
$$

بالنسبة للتدفق الموازي، يتغير الاقتران:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,in}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,out}
$$

هنا، h يدل على السائل الساخن وc على السائل البارد. in تعني مدخل وout تعني مخرج. قد يبدو أن هذه الملاحظة لا تحتاج إلى شرح طويل في المقال، لكن الالتباس عند إدخال القيم في الحقول يحدث غالبًا هنا بالضبط.

لنأخذ مثالاً: السائل الساخن يدخل عند 120 °C ويخرج عند 60 °C. والسائل البارد يدخل عند 20 °C ويخرج عند 50 °C.

في التدفق المعاكس: ΔT1 = 120 - 50 = 70 K، وΔT2 = 60 - 20 = 40 K. وبهاتين القيمتين يكون LMTD حوالي 53,61 K.

إذا قرأت نفس درجات الحرارة على أنها تدفق موازٍ، فسيكون ΔT1 = 120 - 20 = 100 K وΔT2 = 60 - 50 = 10 K. ينخفض LMTD عندها إلى حوالي 39,09 K. تغيّر نمط التدفق فقط، وبقيت درجات الحرارة نفسها.

لذلك، اختيار نوع التدفق ليس خيارًا تجميليًا؛ بل يغير الحساب نفسه.

إذا كان ΔT1 وΔT2 متقاربين جدًا، يتشكل فرق قريب من الصفر وقسمة لوغاريتمية في الصيغة. في النهاية الرياضية، يقترب LMTD من القيمة المشتركة لهذين الفرقين. لتجنب عدم الاستقرار العددي في مثل هذه الحالة، تلجأ الأداة إلى متوسط الفرقين. فمثلاً، إذا كان الفرق عند الطرفين حوالي 50 K، يُعتبر LMTD حوالي 50 K.

أنماط التدفق

نمط التدفق في المبادلات الحرارية يصف كيفية تحرك السوائل الساخنة والباردة بالنسبة لبعضها البعض. لذلك من الطبيعي أن تعطي أنماط التدفق المختلفة قيم LMTD مختلفة مع نفس درجات حرارة المدخل والمخرج.

يمكن استخدام الرسم التالي لعرض الأنماط الأساسية الأربعة في صورة واحدة.

التدفق المعاكس (Counter Flow)

في التدفق المعاكس، يتحرك السائلان الساخن والبارد في اتجاهين متعاكسين. الطرف الذي يدخل منه السائل الساخن يقابل الطرف الذي يخرج منه السائل البارد. وعند الطرف الآخر، يتقابل مخرج الساخن مع مدخل البارد.

هذا النمط نقطة مرجعية جيدة في معظم حسابات المبادلات الحرارية. يمكن الحفاظ على فرق درجة الحرارة بشكل أكثر توازنًا على طول المبادل. ولهذا يعطي LMTD أعلى من التدفق الموازي لنفس مجموعة درجات الحرارة.

فروق الأطراف للتدفق المعاكس:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in}
$$

في المبادلات البسيطة ثنائية الأنابيب أو في الأنماط اللوحية التي تعمل قريبة من التدفق المعاكس، تكون هذه القراءة مباشرة جدًا. إذا كانت هناك مجاوزات أو ترتيب حشوات أو ممرات في الجهاز الفعلي، تُدرس بشكل إضافي؛ لكن الفكرة الأساسية هي هذه.

التدفق الموازي

في التدفق الموازي، يتحرك المائعان في نفس الاتجاه. يدخل الساخن والبارد من نفس الطرف، ويتقدمان في نفس الاتجاه، ويخرجان من الطرف الآخر. عند المدخل يكون فرق درجة الحرارة كبيرًا، ويتقلص بسرعة نحو المخرج.

فروق الأطراف للتدفق الموازي:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,in}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,out}
$$

يمكن استخدام هذا النمط في بعض العمليات، ولكن لأن تقارب درجات الحرارة يتقلص بسرعة، غالبًا ما يكون LMTD أقل من التدفق المعاكس. خاصة إذا اقتربت درجة حرارة مخرج البارد كثيرًا من مخرج الساخن، يبقى ΔT2 صغيرًا. يصبح الحساب حساسًا عندها.

Shell and tube

في مبادل الغلاف والأنبوب، يمر أحد السوائل داخل الأنابيب، بينما يمر الآخر في حجم الغلاف خارج الأنابيب. إذا تم استخدام حواجز (baffle) في جانب الغلاف، يتم توجيه التدفق عبر حزمة الأنابيب؛ قد يزداد انتقال الحرارة، ويزداد أيضًا انخفاض الضغط. كل مكسب يُدفع ثمنه من مكان ما.

في هذا النوع من المبادلات، لا يتصرف التدفق غالبًا كتدفق معاكس نقي أو تدفق موازٍ نقي. ممرات الأنابيب، وعدد مرات المرور في الغلاف (shell pass)، وتباعد الحواجز، وهندسة الجسم كلها تغير ملف درجة الحرارة. لذلك يُطبق عامل تصحيح على LMTD الأساسي.

تتيح هذه الحاسبة اختيار عدد مرات المرور في الغلاف (shell pass) ليكون 1 أو 2 أو 4. يُستخدم في الحساب نهج عامل التصحيح من نوع Fakheri. خاصةً مع مرور واحد في الغلاف، يظهر الفرق بين LMTD الأساسي وLMTD المصحح فورًا؛ إذا كانت قيمة F أقل من 1، ينخفض فرق درجة الحرارة المستخدم.

Cross flow

في نمط التدفق المتقاطع، يقطع المائعان بعضهما البعض في اتجاهين متعامدين. هذا النمط شائع في بطاريات مبردات الهواء، والمبادلات ذات الأنابيب ذات الزعانف، وبعض المبادلات المدمجة. بينما يمر أحد الجانبين داخل الأنابيب، يتدفق الجانب الآخر بشكل متقاطع فوق حزمة الأنابيب.

في حساب التدفق المتقاطع، تغير افتراضية الاختلاط النتيجة. قد لا يختلط أي من المائعين. يمكن افتراض أن جانب Cmin يختلط، وجانب Cmax لا يختلط. والعكس ممكن أيضًا. Cmin وCmax يشيران إلى الجانب ذي معدل السعة الحرارية المنخفض والمرتفع.

تحسب هذه الحاسبة عامل F للتدفق المتقاطع باستخدام علاقات الفعالية- NTU. في حالة عدم اختلاط كلا المائعين، يلزم نهج عددي؛ لا يحلها المستخدم بشكل منفصل، بل يختار فقط نوع التدفق المتقاطع الصحيح. إذا تم اختيار افتراض اختلاط خاطئ، قد تبدو النتيجة سليمة لكنها قد لا تصف المعدات الصحيحة.

ما هو عامل التصحيح؟

عامل التصحيح يُمكّن من تصحيح LMTD الأساسي وفقًا لهندسة التدفق الفعلية. خاصة في مبادلات الغلاف والأنبوب والتدفق المتقاطع، لا يكون ملف درجة الحرارة منتظمًا كما في التدفق المعاكس المثالي. لذلك يتم تقليل فرق درجة الحرارة الفعال المستخدم في الحساب.

العلاقة الأساسية:

$$
\Delta T_{lm,corr} = F \times \Delta T_{lm}
$$

حيث F هي قيمة عامل التصحيح. عادةً ما تكون بين 0 و1. إذا كان F = 1، فلا يوجد تصحيح؛ يُستخدم LMTD الأساسي كما هو. كلما ابتعد F عن 1، زاد تأثير الهندسة وانخفض LMTD المصحح.

بشكل أكثر نظرية، يمكن اعتبار عامل التصحيح كنسبة:

$$
F =
\frac{\Delta T_{lm,gerçek\ düzen}}
{\Delta T_{lm,referans}}
$$

المرجع غالبًا هو سلوك LMTD للتدفق المعاكس عند نفس درجات حرارة الأطراف. تُصحح أنماط الغلاف والأنبوب والتدفق المتقاطع وفقًا لهذا المرجع.

النسب اللابعدية الشائعة الاستخدام في حساب عامل تصحيح الغلاف والأنبوب هي P وR:

$$
P =
\frac{T_{c,out} - T_{c,in}}
{T_{h,in} - T_{c,in}}
$$

$$
R =
\frac{T_{h,in} - T_{h,out}}
{T_{c,out} - T_{c,in}}
$$

P يقرأ مقدار ارتفاع حرارة السائل البارد نسبةً إلى أقصى فرق درجة حرارة ابتدائي. بينما يربط R مقدار تبريد الجانب الساخن بمقدار تسخين الجانب البارد. يدخل عدد مرات المرور في الغلاف مع هذه النسب في حساب F.

من ناحية أخرى، ليس من السهل كتابة صيغة عامة قصيرة مماثلة للتدفق المتقاطع، لأن العلاقة تتغير بتغير افتراض الاختلاط. لذلك، عمليًا تُستخدم الرسوم البيانية أو تُحسب F من علاقات الفعالية- NTU. تتبع هذه الأداة الطريقة الثانية للتدفق المتقاطع.

يجب أن يكون الحد الفني هنا واضحًا. عامل التصحيح ليس عامل الأوساخ (fouling factor). عامل الأوساخ يصف مقاومة التلوث على السطح، بينما يصحح عامل التصحيح تأثير هندسة التدفق على LMTD. قد يظهران معًا في نفس الجدول، لكنهما ليسا الشيء نفسه.

مثال حسابي

لنفترض أن السائل الساخن يدخل عند 120 °C ويخرج عند 60 °C. والسائل البارد يدخل عند 20 °C ويخرج عند 50 °C. هذه القيم نظيفة جدًا، نعم، لكنها جيدة لفهم منطق LMTD.

الفرق في الجدول مهم من ناحية التصميم. فرق درجة الحرارة الذي يظهر 53,61 K في التدفق المعاكس ينخفض إلى 47,33 K بعد تصحيح الغلاف والأنبوب. لنفس الحمل الحراري ونفس معامل U، يعني انخفاض فرق درجة الحرارة مساحة أكبر لانتقال الحرارة.

ليس من المستغرب أيضًا انخفاض LMTD إلى 39,09 K في التدفق الموازي. حتى لو كان الفرق كبيرًا جدًا عند المدخل، فإنه يتقلص إلى 10 K عند المخرج. سيكون من الخطأ اعتبار أن المبادل بأكمله يعمل بفارق 100 K.

في هذا المثال، قيمتا F كلتاهما أقل من 1. وهذا بالفعل منطق التصحيح. الهندسة والاختلاط والتدفقات متعددة المرور لا تعطي سلوك التدفق المعاكس المثالي تمامًا. تأخذ الأداة ذلك في الاعتبار بمعامل واحد.

نقاط فنية يجب مراعاتها عند الاستخدام

أول فحص هو اتجاه درجات الحرارة. هل يبرد السائل الساخن؟ هل يسخن السائل البارد؟ هذا هو المتوقع في حساب المبادل الحراري الكلاسيكي. إذا بدا أن السائل الساخن يخرج أكثر سخونة من دخوله، يجب إعادة قراءة ملصق البيانات أو تعريف العملية.

الفحص الثاني هو ΔT1 وΔT2. يجب أن يظل فرقا الطرفين موجبين. إذا كان هناك فرق سالب أو صفر، فبدلاً من حساب LMTD يجب تصحيح بيانات الإدخال. إدخال أرقام قسرًا في اللوغاريتم ليس حسابًا هندسيًا.

الفحص الثالث هو نمط التدفق. الفرق بين التدفق المعاكس والموازي ليس فقط اتجاه الأسهم في الرسم؛ بل يتغير اقتران ΔT. إذا تم اختيار الغلاف والأنبوب، يؤثر عدد مرات المرور في الغلاف، وإذا تم اختيار التدفق المتقاطع، يؤثر نوع الاختلاط على النتيجة.

الفحص الرابع هو قيمة عامل التصحيح. إذا كان F منخفضًا جدًا، ينخفض LMTD المصحح أيضًا. في بعض ممارسات التصميم، لا تُفضل قيم F المنخفضة جدًا؛ لأن ترتيب المبادل قد يكون غير فعال في استخدام القوة الدافعة الحرارية. عند هذه النقطة، تُقيَّم معًا ورقة بيانات الشركة المصنعة، وترتيب TEMA، وتباعد الحواجز، وعدد مرات مرور الأنابيب، وانخفاض الضغط.

حساب LMTD وحده لا يقوم باختيار المبادل. يجب أيضًا النظر في الحمل الحراري، ومعامل انتقال الحرارة الكلي، ومساحة السطح، والمواد، وهامش التلوث، وتغير الطور، ونطاق التشغيل. ومع ذلك، إذا كانت قيمة LMTD الناتجة من درجات الحرارة الأربع خاطئة، فلا يُتوقع أن تكون الحسابات اللاحقة صحيحة. يجب تنظيف هذا الجزء أولاً.