Calcolo della differenza media logaritmica di temperatura (LMTD)

Cosa misura l'LMTD?

In uno scambiatore di calore il fluido caldo entra da un'estremità, si raffredda ed esce; il fluido freddo si riscalda dall'altro lato. Fin qui è semplice. Il punto principale è questo: la differenza di temperatura tra i due fluidi non rimane costante lungo lo scambiatore. La differenza, grande all'ingresso, può ridursi verso l'uscita, e in una disposizione di flusso scelta male può calare molto più rapidamente del previsto.

L'LMTD, ovvero la differenza di temperatura media logaritmica, riduce questa differenza variabile a un singolo valore di calcolo. Può essere pensato come la forza motrice termica utilizzata nel calcolo dello scambio termico. La relazione di base usata di frequente nella progettazione è:

$$
Q = U \times A \times \Delta T_{lm}
$$

Qui Q indica il carico termico, U il coefficiente globale di scambio termico, A l'area di trasferimento del calore e ΔTlm la differenza di temperatura media logaritmica. Questo calcolatore non esegue il calcolo di Q, U o dell'area; fornisce solo il valore ΔTlm. In altre parole, non è l'intera selezione dello scambiatore, ma la parte relativa alla differenza di temperatura del calcolo.

La formula dell'LMTD è la seguente:

$$
\Delta T_{lm} =
\frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}
{\ln\left(\frac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}
$$

ΔT1 e ΔT2 sono le differenze di temperatura alle due estremità dello scambiatore. Quali due temperature vengono sottratte tra loro dipende dalla disposizione del flusso. L'abbinamento è diverso per il flusso controcorrente e per il flusso parallelo. Nelle disposizioni come shell and tube e a flusso incrociato, l'LMTD di base non viene usato da solo; viene corretto con il fattore di correzione.

Questa distinzione è importante: l'LMTD non è una temperatura, ma una differenza di temperatura. Quindi, quando il risultato è mostrato in K, 53 K rappresenta la stessa entità di una differenza di 53 °C. È possibile inserire le temperature di ingresso in °C, °F o K; tuttavia, nello stesso progetto è necessario non mescolare le unità di misura. Un'unica tabella in campo in cui si mescolano °F e °C può compromettere silenziosamente l'intero calcolo.

Le due differenze nella formula

Nel calcolo dell'LMTD, ΔT1 e ΔT2 devono essere positivi. Se uno è zero, l'espressione logaritmica crolla. Se uno è negativo, significa che sul lato caldo e su quello freddo l'ordine atteso è stato perso a un'estremità. In tal caso lo strumento mostra l'avviso "Differenza di temperatura non valida".

Per il flusso controcorrente le differenze alle estremità sono così calcolate:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in}
$$

Per il flusso parallelo l'abbinamento cambia:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,in}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,out}
$$

Qui h indica il fluido caldo, c il fluido freddo. in significa ingresso, out uscita. Nell'articolo sembra non sia necessario dilungarsi su questa nota, ma quando si inseriscono i valori nei campi, la confusione nasce spesso proprio qui.

Facciamo un esempio. Il fluido caldo entra a 120 °C ed esce a 60 °C. Il fluido freddo entra a 20 °C ed esce a 50 °C.

In controcorrente si ha ΔT1 = 120 - 50 = 70 K, ΔT2 = 60 - 20 = 40 K. Con questi due valori l'LMTD risulta circa 53,61 K.

Se leggete le stesse temperature come flusso parallelo, ΔT1 = 120 - 20 = 100 K e ΔT2 = 60 - 50 = 10 K. L'LMTD scende in questo caso a circa 39,09 K. È cambiata solo la disposizione del flusso; le temperature sono le stesse.

Per questo la scelta del tipo di flusso non è un'opzione estetica; modifica il calcolo stesso.

Se ΔT1 e ΔT2 sono molto vicini tra loro, nella formula si crea una differenza vicina a zero e una divisione logaritmica. Al limite matematico, l'LMTD tende al valore comune delle due differenze. In queste situazioni, per evitare instabilità numerica, lo strumento ricorre alla media delle due differenze. Ad esempio, se a entrambe le estremità c'è una differenza di circa 50 K, anche l'LMTD viene considerato pari a circa 50 K.

Tipi di flusso

Negli scambiatori di calore, la disposizione del flusso descrive come i fluidi caldo e freddo si muovono l'uno rispetto all'altro. È normale che con le stesse temperature di ingresso e uscita diverse disposizioni di flusso diano un LMTD diverso.

Il seguente schema può essere utilizzato per mostrare le quattro disposizioni di base in un'unica immagine.

Flusso controcorrente (counter flow)

Nel flusso controcorrente i fluidi caldo e freddo procedono in direzioni opposte. L'estremità in cui entra il fluido caldo corrisponde a quella in cui esce il fluido freddo. All'altra estremità, l'uscita calda e l'ingresso freddo si trovano di fronte.

Questa disposizione è un buon punto di riferimento nella maggior parte dei calcoli degli scambiatori di calore. La differenza di temperatura può essere mantenuta più equilibrata lungo lo scambiatore. È per questo che, a parità di temperature, fornisce un LMTD più alto rispetto al flusso parallelo.

Per il flusso controcorrente le differenze alle estremità sono:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,out}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,in}
$$

Negli scambiatori a doppio tubo semplici o nelle disposizioni a piastre che lavorano in prossimità della controcorrente, questa lettura è piuttosto diretta. Se nel dispositivo reale ci sono passaggi, disposizione delle guarnizioni o by-pass, si esamina anche quello; ma la logica di base è questa.

Flusso parallelo

Nel flusso parallelo i due fluidi si muovono nella stessa direzione. I fluidi caldo e freddo entrano dalla stessa estremità, procedono nella stessa direzione ed escono dall'altra estremità. All'ingresso la differenza di temperatura è grande; verso l'uscita la differenza si riduce rapidamente.

Per il flusso parallelo le differenze alle estremità sono:

$$
\Delta T_1 = T_{h,in} - T_{c,in}
$$

$$
\Delta T_2 = T_{h,out} - T_{c,out}
$$

Questa disposizione può essere utilizzata in alcuni processi, ma poiché la differenza di temperatura si riduce rapidamente, l'LMTD risulta spesso inferiore rispetto alla controcorrente. In particolare, se la temperatura di uscita fredda si avvicina troppo a quella calda, ΔT2 rimane piccolo. Lì il calcolo diventa sensibile.

Shell and tube

In uno scambiatore shell and tube, un fluido passa attraverso i tubi, l'altro attraverso il volume del mantello esterno ai tubi. Se sul lato mantello vengono utilizzati i deflettori (baffle), il flusso viene convogliato sul fascio tubiero; lo scambio termico può aumentare, ma aumenta anche la perdita di carico. Ogni guadagno ha un costo.

In questi tipi di scambiatori, il flusso spesso non si comporta come pura controcorrente o puro flusso parallelo. I passaggi dei tubi, il numero di passaggi lato mantello, la distanza dei deflettori e la geometria del mantello modificano il profilo di temperatura. Per questo motivo, all'LMTD di base viene applicato un fattore di correzione.

Questo calcolatore fa selezionare il numero di passaggi lato mantello tra 1, 2 o 4. Nel calcolo viene utilizzato l'approccio del fattore di correzione tipo Fakheri. Soprattutto per 1 passaggio lato mantello, la differenza tra l'LMTD di base e l'LMTD corretto è subito evidente; se il valore di F è inferiore a 1, la differenza di temperatura da utilizzare diminuisce.

Flusso incrociato

Nella disposizione a flusso incrociato, i due fluidi si incrociano perpendicolarmente. Questa disposizione è comune nelle batterie di raffreddamento ad aria, negli scambiatori a tubi alettati e in alcuni scambiatori compatti. Mentre un lato passa attraverso i tubi, l'altro scorre trasversalmente sopra il fascio tubiero.

Nel calcolo del flusso incrociato, l'assunzione di miscelazione modifica il risultato. Entrambi i fluidi possono essere non miscelati. Il lato Cmin può essere considerato miscelato e il lato Cmax non miscelato. È possibile anche il contrario. Cmin e Cmax indicano il lato con portata termica rispettivamente minore e maggiore.

Questo calcolatore calcola il fattore F per il flusso incrociato utilizzando le correlazioni efficacia-NTU. Nel caso in cui entrambi i fluidi non siano miscelati, è necessaria una soluzione numerica; l'utente non la risolve separatamente, ma sceglie semplicemente il tipo di flusso incrociato corretto. Se si seleziona un'assunzione di miscelazione errata, il risultato può sembrare corretto ma potrebbe non rappresentare l'apparecchiatura giusta.

Cos'è il fattore di correzione?

Il fattore di correzione consente di correggere l'LMTD di base in base alla geometria reale del flusso. Soprattutto negli scambiatori shell and tube e a flusso incrociato, il profilo di temperatura non è regolare come nella controcorrente ideale. Per questo, la differenza di temperatura effettiva utilizzata nel calcolo viene ridotta.

La relazione di base è:

$$
\Delta T_{lm,corr} = F \times \Delta T_{lm}
$$

Qui F è il valore del fattore di correzione. Normalmente è compreso tra 0 e 1. Se F = 1, non c'è correzione; si usa l'LMTD di base così com'è. Più F si allontana da 1, maggiore è l'effetto geometrico e minore è l'LMTD corretto.

Per essere più teorici, il fattore di correzione può essere considerato come questo rapporto:

$$
F =
\frac{\Delta T_{lm,gerçek\ düzen}}
{\Delta T_{lm,referans}}
$$

Il riferimento è spesso il comportamento dell'LMTD in controcorrente per le stesse temperature terminali. Le disposizioni shell and tube e a flusso incrociato vengono corrette rispetto a questo riferimento.

Nel calcolo del fattore di correzione per shell and tube, i rapporti adimensionali comunemente usati sono P e R:

$$
P =
\frac{T_{c,out} - T_{c,in}}
{T_{h,in} - T_{c,in}}
$$

$$
R =
\frac{T_{h,in} - T_{h,out}}
{T_{c,out} - T_{c,in}}
$$

P indica quanto si è riscaldato il fluido freddo rispetto alla massima differenza di temperatura iniziale. R, invece, mette in relazione la quantità di raffreddamento del lato caldo con la quantità di riscaldamento del lato freddo. Il numero di passaggi lato mantello entra nel calcolo di F insieme a questi rapporti.

Per il flusso incrociato non è facile scrivere una formula generale altrettanto breve, perché la correlazione cambia al variare dell'assunzione di miscelazione. In pratica, quindi, si usano grafici oppure si calcola F tramite le relazioni efficacia-NTU. Questo strumento segue la seconda via per il flusso incrociato.

Qui il confine tecnico deve essere chiaro. Il fattore di correzione non è il fattore di sporcamento. Il fouling factor descrive la resistenza allo sporcamento sulla superficie; il fattore di correzione, invece, corregge l'effetto della geometria del flusso sull'LMTD. Possono comparire uno accanto all'altro nella stessa tabella, ma non sono la stessa cosa.

Esempio di calcolo

Supponiamo che il fluido caldo entri a 120 °C ed esca a 60 °C. Il fluido freddo entri a 20 °C ed esca a 50 °C. Questi valori sono molto puliti, sì, ma sono buoni per comprendere la logica dell'LMTD.

La differenza nella tabella è importante dal punto di vista progettuale. La differenza di temperatura di 53,61 K in controcorrente scende a 47,33 K con la correzione shell and tube. A parità di carico termico e di coefficiente U, una differenza di temperatura inferiore significa una maggiore area di scambio termico.

Non sorprende che l'LMTD scenda a 39,09 K nel flusso parallelo. Anche se all'ingresso la differenza è molto grande, all'estremità di uscita si riduce fino a 10 K. Sarebbe errato considerare l'intero scambiatore come se lavorasse con una differenza di 100 K.

In questo esempio, entrambi i valori di F sono inferiori a 1. Del resto, è questa la logica della correzione. La geometria, la miscelazione e i flussi a più passaggi non riproducono esattamente il comportamento ideale della controcorrente. Lo strumento tiene conto di tutto ciò con un unico moltiplicatore.

Punti tecnici da considerare nell'uso

Il primo controllo è la direzione delle temperature. Il fluido caldo si sta raffreddando? Il fluido freddo si sta riscaldando? Questo è quanto ci si aspetta in un classico calcolo di scambiatore. Se il fluido caldo appare più caldo all'uscita che all'ingresso, vanno rivisti l'etichetta dei dati o la descrizione del processo.

Il secondo controllo riguarda ΔT1 e ΔT2. Entrambe le differenze terminali devono rimanere positive. Se c'è una differenza negativa o nulla, occorre correggere i dati di ingresso invece di calcolare l'LMTD. Inserire forzatamente numeri nel logaritmo non è un calcolo ingegneristico.

Il terzo controllo è la disposizione del flusso. La differenza tra controcorrente e flusso parallelo non è solo la direzione delle frecce nel disegno; cambia l'abbinamento di ΔT. Se è selezionato shell and tube, il numero di passaggi lato mantello influisce sul risultato; se è selezionato il flusso incrociato, è il tipo di miscelazione a influenzarlo.

Il quarto controllo è il valore del fattore di correzione. Se F è molto basso, anche l'LMTD corretto diminuisce. In alcune pratiche progettuali, valori di F molto bassi non sono preferiti; la disposizione dello scambiatore potrebbe infatti utilizzare in modo inefficiente la forza motrice termica. A questo punto, vengono valutati insieme il datasheet del produttore, la disposizione TEMA, la distanza dei deflettori, il numero di passaggi dei tubi e la perdita di carico.

Il calcolo dell'LMTD da solo non seleziona lo scambiatore. Il carico termico, il coefficiente globale di scambio termico, la superficie, il materiale, il margine di sporcamento, il cambiamento di fase e l'intervallo operativo vengono considerati separatamente. Tuttavia, se il valore dell'LMTD derivante dalle quattro temperature è errato, non ci si può aspettare che i calcoli successivi siano corretti. Prima di tutto occorre sistemare questo aspetto.