Quais valores devo inserir?

Os valores dependem da forma selecionada. Na forma padrão, insira $a$, $b$, $c$; na forma de vértice, $a$, $h$, $k$; e na forma fatorada, $a$, $p$, $q$.

Como encontrar as raízes na forma fatorada?

Em uma equação da forma $a(x - p)(x - q) = 0$, as raízes são diretamente $x = p$ e $x = q$.

Como resolver uma equação quadrática?

Se uma equação quadrática estiver na forma padrão, comece calculando o discriminante. Em seguida, aplique a fórmula quadrática de acordo com o valor do discriminante para encontrar as raízes reais da equação.

Qual é a fórmula da equação quadrática?

O método mais utilizado para resolver equações quadráticas é a fórmula quadrática: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ O discriminante da fórmula é calculado por $\Delta = b^2 - 4ac$.

O que significa o discriminante?

O discriminante indica quantas raízes reais a equação possui. Se for positivo, há duas; se for zero, há uma; se for negativo, não há raízes reais.

O que acontece se $a = 0$?

Quando $a = 0$, a equação deixa de ser quadrática. O termo $x^2$ desaparece e a equação se torna linear.

O que fazer se estiver faltando um termo?

Use $0$ como coeficiente do termo ausente. Por exemplo, em $x^2 - 16 = 0$, temos $b = 0$.

Qual é a diferença entre a forma de vértice e a forma padrão?

A forma padrão mostra claramente os coeficientes da equação. A forma de vértice mostra diretamente o vértice da parábola, ou seja, $(h, k)$.

O que significa “sem raízes reais”?

Significa que a equação não possui solução no conjunto dos números reais. No gráfico, a parábola não intercepta o eixo x.

É possível calcular com coeficientes decimais?

Sim. Os coeficientes podem ser inteiros, frações ou números decimais. No entanto, cálculos com valores decimais podem gerar pequenas diferenças de arredondamento.

Qual é o erro mais comum?

O erro mais comum é inserir os coeficientes sem antes converter a equação para a forma padrão. Certifique-se especialmente de inserir corretamente os sinais negativos.

Solucionador de equações quadráticas

Calcule o discriminante e as raízes reais a partir da forma padrão, de vértice ou fatorada.

As equações do segundo grau podem parecer um pouco complexas à primeira vista. Principalmente quando $a$, $b$, $c$, o discriminante e a fórmula das raízes aparecem ao mesmo tempo, pode ser difícil saber por onde começar. Esta ferramenta de cálculo determina o discriminante, o número de raízes reais e as próprias raízes com base na forma em que a equação é introduzida.

Pode escrever a equação na forma padrão. Se tiver a forma de vértice, também pode utilizá-la. Se a equação já estiver fatorada, também é possível identificar diretamente as raízes.

Introdução da equação

A ferramenta funciona com três formas de escrita diferentes.

Na forma padrão, a equação é escrita da seguinte maneira:

Formül

$$ax^2 + bx + c = 0$$

a = ikinci dereceli terimin katsayısıb = birinci dereceli terimin katsayısıc = sabit terimx = bilinmeyen

Ao selecionar esta forma, é necessário introduzir os valores de $a$, $b$ e $c$.

A forma de vértice é escrita da seguinte maneira:

Formül

$$a(x - h)^2 + k = 0$$

a = parabolün açılma yönünü ve genişliğini belirleyen katsayıh = tepe noktasının x koordinatık = tepe noktasının y koordinatıx = bilinmeyen

Nesta forma, são utilizados os valores de $a$, $h$ e $k$.

A forma fatorada é escrita da seguinte maneira:

Formül

$$a(x - p)(x - q) = 0$$

a = çarpanların önündeki katsayıp = birinci kökq = ikinci kökx = bilinmeyen

Nesta forma, as raízes podem frequentemente ser lidas diretamente a partir da equação. No entanto, o coeficiente $a$ continua a influenciar o cálculo do discriminante.

O que deve ser introduzido na ferramenta?

Se a equação estiver na forma $x^2 - 5x + 6 = 0$, selecione a forma padrão. Neste exemplo, os valores são:

$a = 1$, $b = -5$, $c = 6$

Se a equação estiver na forma $(x - 2)^2 - 1 = 0$, a forma de vértice é mais adequada:

$a = 1$, $h = 2$, $k = -1$

Se a equação estiver na forma $(x - 2)(x - 3) = 0$, pode utilizar a forma fatorada:

$a = 1$, $p = 2$, $q = 3$

Há um pequeno detalhe relacionado com o sinal que deve ser observado. Na forma fatorada, a expressão $x + 1$ significa $x - (-1)$. Por isso, se existir o fator $x + 1$, a raiz correspondente é $-1$.

Quando uma equação é do segundo grau?

Para que uma equação seja do segundo grau, a maior potência da incógnita deve ser 2. A forma geral continua a ser:

Formül

$$ax^2 + bx + c = 0$$

a = ikinci dereceli terimin katsayısıb = birinci dereceli terimin katsayısıc = sabit terimx = bilinmeyen

O coeficiente $a$ não pode ser igual a zero. Se $a = 0$, o termo $x^2$ desaparece. Nesse caso, a equação deixa de ser do segundo grau e passa a ser do primeiro grau.

Por exemplo, $3x^2 - 2x + 1 = 0$ é uma equação do segundo grau. No entanto, se for escrita como $0x^2 - 2x + 1 = 0$, resta apenas $-2x + 1 = 0$.

O que indica o discriminante?

Para analisar as raízes de uma equação na forma padrão, calcula-se primeiro o discriminante:

Formül

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

\Delta = diskriminant değeri

O sinal do discriminante determina o número de raízes reais:

Formül

$$N = \begin{cases} 2, & \Delta > 0 \\ 1, & \Delta = 0 \\ 0, & \Delta < 0 \end{cases}$$

N = gerçek kök sayısı\Delta = diskriminant değeri

Assim, se $\Delta > 0$, existem duas raízes reais distintas. Se $\Delta = 0$, as raízes coincidem. Se $\Delta < 0$, a equação não tem solução no conjunto dos números reais.

As raízes são calculadas com a seguinte fórmula:

Formül

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

x = denklemin kökü

Raízes na forma de vértice

Se a equação estiver na forma de vértice, as raízes podem ser determinadas diretamente com a seguinte fórmula:

Formül

$$x = h \pm \sqrt{\frac{-k}{a}}$$

x = denklemin kökü

Nesta forma, a expressão dentro da raiz quadrada é importante. Se $\frac{-k}{a}$ for negativo, não existem raízes reais.

Na forma de vértice, o discriminante também pode ser calculado da seguinte maneira:

Formül

$$\Delta = -4ak$$

\Delta = diskriminant değeri

Esta forma é especialmente útil quando o vértice da parábola é conhecido. Não é necessário desenvolver a equação para a forma padrão; o resultado pode ser obtido diretamente a partir dos valores de $a$, $h$ e $k$.

Raízes na forma fatorada

Se a equação for apresentada na forma fatorada, o processo é mais curto:

Formül

$$a(x - p)(x - q) = 0$$

a = çarpanların önündeki katsayıx = bilinmeyenp = birinci kökq = ikinci kök

Para que um produto seja igual a zero, pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero. Por isso, as raízes são:

Formül

$$x_1 = p,\quad x_2 = q$$

x_1 = birinci kökx_2 = ikinci kök

Para determinar o discriminante, utiliza-se a seguinte fórmula:

Formül

$$\Delta = a^2(p - q)^2$$

\Delta = diskriminant değeri

O coeficiente principal $a$ não altera a posição das raízes. No entanto, influencia a forma vertical da parábola.

Vejamos alguns exemplos

Considere primeiro a seguinte equação:

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

Aqui, $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.

Vamos calcular o discriminante:

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$$

Como $\Delta = 1$ é positivo, esperamos duas raízes reais distintas.

A fórmula das raízes é:

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \times 1}$$

A primeira raiz:

$$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

A segunda raiz:

$$x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

As raízes desta equação são $x = 3$ e $x = 2$.

Vejamos agora um exemplo em que as raízes coincidem:

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

Os coeficientes são $a = 1$, $b = -4$, $c = 4$.

$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0$$

Como o discriminante é zero, as duas raízes têm o mesmo valor:

$$x = \frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$

Neste caso, $x = 2$ é uma raiz dupla. No gráfico, a parábola é tangente ao eixo $x$ neste ponto.

Vejamos também um caso sem raízes reais:

$$x^2 + 2x + 5 = 0$$

Aqui, $a = 1$, $b = 2$, $c = 5$.

$$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16$$

Como $\Delta < 0$, não existem raízes reais. A parábola não cruza o eixo $x$.

Exemplo a partir da forma de vértice

Considere a equação:

$$(x - 2)^2 - 1 = 0$$

Aqui, $a = 1$, $h = 2$, $k = -1$.

Vamos aplicar a fórmula das raízes:

$$x = 2 \pm \sqrt{\frac{-(-1)}{1}}$$

$$x = 2 \pm \sqrt{1}$$

Assim:

$$x_1 = 2 + 1 = 3$$

$$x_2 = 2 - 1 = 1$$

Também podemos verificar o mesmo resultado através do discriminante:

$$\Delta = -4 \times 1 \times (-1) = 4$$

Como o discriminante é positivo, existem duas raízes reais distintas.

Considere também uma equação na forma de vértice sem raízes reais:

$$(x - 2)^2 + 1 = 0$$

Desta vez, $a = 1$, $h = 2$, $k = 1$.

A expressão dentro da raiz quadrada é:

$$\frac{-k}{a} = \frac{-1}{1} = -1$$

No conjunto dos números reais, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo. Por isso, a equação não possui raízes reais.

O discriminante indica o mesmo resultado:

$$\Delta = -4 \times 1 \times 1 = -4$$

Como $\Delta < 0$, não existem raízes reais.

Exemplo a partir de uma equação fatorada

Na equação seguinte, as raízes são quase imediatamente visíveis:

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Um dos fatores deve ser igual a zero:

$$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$

$$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$

Aqui, $a = 1$, $p = 2$, $q = 3$.

O discriminante é:

$$\Delta = 1^2(2 - 3)^2 = 1$$

As raízes são $x = 2$ e $x = 3$.

Um exemplo com coeficiente principal pode ser:

$$5(x + 1)(x - 4) = 0$$

A expressão $x + 1$ pode ser interpretada como $x - (-1)$:

$$5(x - (-1))(x - 4) = 0$$

Neste caso, $a = 5$, $p = -1$, $q = 4$.

As raízes são:

$$x_1 = -1$$

$$x_2 = 4$$

O discriminante é:

$$\Delta = 5^2(-1 - 4)^2 = 25 \times 25 = 625$$

O coeficiente $5$ não altera as raízes. As raízes continuam a ser determinadas pelos fatores. O coeficiente determina principalmente o quanto o gráfico parece estreito ou largo na direção vertical.

Interpretação dos resultados

Se $\Delta > 0$, a equação possui duas raízes reais distintas. No gráfico, a parábola cruza o eixo $x$ em dois pontos diferentes.

Se $\Delta = 0$, é apresentado apenas um valor de raiz real. Na realidade, as duas raízes coincidem no mesmo ponto. A parábola é tangente ao eixo $x$.

Se $\Delta < 0$, não existem raízes reais. A equação pode ser resolvida com números complexos, mas, se a ferramenta mostrar apenas raízes reais, a secção de resultados indicará que não existem raízes reais.

Para verificar uma raiz encontrada, pode substituir o respetivo valor na equação inicial.

Por exemplo, vamos testar $x = 2$ na equação $x^2 - 5x + 6 = 0$:

$$2^2 - 5 \times 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$

Como a igualdade é satisfeita, $x = 2$ é realmente uma das raízes desta equação.

Pontos a ter em atenção durante a utilização

Não introduza zero para $a$. Nesse caso, a equação não será do segundo grau.
Se estiver a trabalhar com a forma padrão, coloque todos os termos no mesmo lado da igualdade.
Introduza os coeficientes negativos juntamente com o sinal de menos.
Considere como $0$ o coeficiente de qualquer termo ausente na equação.
Na forma de vértice, preste atenção ao sinal na expressão $x - h$.
Na forma fatorada, $x + 1$ significa $x - (-1)$.
Podem ocorrer pequenas diferenças de arredondamento com coeficientes decimais.
O resultado «sem raízes reais» muitas vezes não é um erro; o discriminante pode ser negativo.

Onde é útil?

Este tipo de equação não aparece apenas em exercícios de álgebra. As equações do segundo grau também são utilizadas em gráficos de parábolas, problemas de movimento, problemas de área e cálculos de valores máximos e mínimos.

Esta ferramenta é especialmente útil nas seguintes situações:

Para verificar um cálculo efetuado com a fórmula das raízes
Para determinar onde uma parábola cruza o eixo $x$
Para confirmar o resultado de uma fatorização
Para resolver equações resultantes de problemas de trajetória ou movimento em física
Para fazer uma verificação rápida em questões de exame
Para observar como diferentes coeficientes alteram as raízes

Ao resolver exercícios, é mais instrutivo utilizar a ferramenta para verificar o resultado do que apenas para o obter. Efetuar primeiro o cálculo por conta própria e depois introduzir os valores na ferramenta facilita a identificação da etapa em que ocorreu um erro.

Solucionador de equações quadráticas

Introdução da equação

O que deve ser introduzido na ferramenta?

Quando uma equação é do segundo grau?

O que indica o discriminante?

Raízes na forma de vértice

Raízes na forma fatorada

Vejamos alguns exemplos

Exemplo a partir da forma de vértice

Exemplo a partir de uma equação fatorada

Interpretação dos resultados

Pontos a ter em atenção durante a utilização

Onde é útil?

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Perguntas frequentes

Referências e fontes