Quali valori devo inserire?

I valori dipendono dalla forma scelta. Nella forma standard si inseriscono $a$, $b$, $c$; nella forma del vertice $a$, $h$, $k$; nella forma fattorizzata $a$, $p$, $q$.

Come si trovano le radici nella forma fattorizzata?

In un’equazione della forma $a(x - p)(x - q) = 0$, le radici sono direttamente $x = p$ e $x = q$.

Come si risolve un’equazione di secondo grado?

Se un’equazione di secondo grado è espressa in forma standard, si inizia calcolando il discriminante. In base al suo valore, si applica poi la formula risolutiva per trovare le radici reali dell’equazione.

Qual è la formula dell’equazione di secondo grado?

Il metodo più utilizzato per risolvere le equazioni di secondo grado è la formula risolutiva: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ Il discriminante presente nella formula si calcola con $\Delta = b^2 - 4ac$.

Che cosa significa il discriminante?

Il discriminante indica quante radici reali ha l’equazione. Se è positivo, le radici sono due; se è zero, una; se è negativo, non ci sono radici reali.

Che cosa succede se $a = 0$?

Quando $a = 0$, l’equazione non è più di secondo grado. Il termine $x^2$ scompare e l’equazione diventa lineare.

Che cosa si fa se manca un termine?

Si assegna $0$ al coefficiente del termine mancante. Ad esempio, in $x^2 - 16 = 0$, si ha $b = 0$.

Qual è la differenza tra la forma del vertice e la forma standard?

La forma standard mostra chiaramente i coefficienti dell’equazione. La forma del vertice mostra direttamente il vertice della parabola, cioè $(h, k)$.

Che cosa significa “nessuna radice reale”?

Significa che l’equazione non ha soluzioni nell’insieme dei numeri reali. Nel grafico, la parabola non interseca l’asse x.

Si possono eseguire calcoli con coefficienti decimali?

Sì. I coefficienti possono essere numeri interi, frazioni o decimali. Tuttavia, con valori decimali possono verificarsi piccole differenze di arrotondamento.

Qual è l’errore più comune?

L’errore più comune è inserire i coefficienti senza aver prima convertito l’equazione nella forma standard. Verificare in particolare che i segni negativi siano inseriti correttamente.

Risolutore di equazioni quadratiche

Calcola il discriminante e le radici reali dalla forma standard, canonica o fattorizzata.

Le equazioni di secondo grado possono sembrare piuttosto complesse a prima vista. Soprattutto quando $a$, $b$, $c$, il discriminante e la formula risolutiva compaiono contemporaneamente, può essere difficile capire da dove iniziare. Questo strumento di calcolo determina il discriminante, il numero di radici reali e le radici in base alla forma in cui viene inserita l'equazione.

È possibile scrivere l'equazione in forma standard. Se si dispone della forma canonica, è possibile utilizzare anche quella. Se l'equazione è già scomposta in fattori, è inoltre possibile leggere direttamente le radici.

Inserimento dell'equazione

Lo strumento funziona con tre diverse forme di scrittura.

Nella forma standard, l'equazione si scrive come segue:

Formül

$$ax^2 + bx + c = 0$$

a = ikinci dereceli terimin katsayısıb = birinci dereceli terimin katsayısıc = sabit terimx = bilinmeyen

Quando si seleziona questa forma, è necessario inserire i valori di $a$, $b$ e $c$.

La forma canonica è la seguente:

Formül

$$a(x - h)^2 + k = 0$$

a = parabolün açılma yönünü ve genişliğini belirleyen katsayıh = tepe noktasının x koordinatık = tepe noktasının y koordinatıx = bilinmeyen

In questa forma vengono utilizzati i valori di $a$, $h$ e $k$.

La forma fattorizzata è invece la seguente:

Formül

$$a(x - p)(x - q) = 0$$

a = çarpanların önündeki katsayıp = birinci kökq = ikinci kökx = bilinmeyen

In questo caso, spesso le radici possono essere lette direttamente dall'equazione. Tuttavia, il coefficiente $a$ influisce comunque sul calcolo del discriminante.

Che cosa bisogna inserire nello strumento?

Se l'equazione è nella forma $x^2 - 5x + 6 = 0$, selezionare la forma standard. In questo esempio, i valori sono:

$a = 1$, $b = -5$, $c = 6$

Se l'equazione è nella forma $(x - 2)^2 - 1 = 0$, la forma canonica è più adatta:

$a = 1$, $h = 2$, $k = -1$

Se l'equazione è nella forma $(x - 2)(x - 3) = 0$, è possibile utilizzare la forma fattorizzata:

$a = 1$, $p = 2$, $q = 3$

Occorre prestare attenzione a un piccolo dettaglio relativo al segno. Nella forma fattorizzata, l'espressione $x + 1$ equivale a $x - (-1)$. Pertanto, se è presente il fattore $x + 1$, la radice corrispondente è $-1$.

Quando un'equazione è di secondo grado?

Affinché un'equazione sia di secondo grado, la potenza più alta dell'incognita deve essere 2. La forma generale è ancora la seguente:

Formül

$$ax^2 + bx + c = 0$$

a = ikinci dereceli terimin katsayısıb = birinci dereceli terimin katsayısıc = sabit terimx = bilinmeyen

Il coefficiente $a$ non può essere uguale a zero. Infatti, se $a = 0$, il termine $x^2$ scompare. L'equazione non è più di secondo grado, ma diventa di primo grado.

Ad esempio, $3x^2 - 2x + 1 = 0$ è un'equazione di secondo grado. Se invece si scrive $0x^2 - 2x + 1 = 0$, rimane soltanto $-2x + 1 = 0$.

Che cosa indica il discriminante?

Per esaminare le radici di un'equazione in forma standard, si calcola prima il discriminante:

Formül

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

\Delta = diskriminant değeri

Il segno del discriminante determina il numero di radici reali:

Formül

$$N = \begin{cases} 2, & \Delta > 0 \\ 1, & \Delta = 0 \\ 0, & \Delta < 0 \end{cases}$$

N = gerçek kök sayısı\Delta = diskriminant değeri

Quindi, se $\Delta > 0$, esistono due radici reali distinte. Se $\Delta = 0$, le radici coincidono. Se $\Delta < 0$, l'equazione non ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali.

Le radici si calcolano con la seguente formula:

Formül

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

x = denklemin kökü

Radici nella forma canonica

Se l'equazione è espressa in forma canonica, le radici possono essere determinate direttamente con la seguente formula:

Formül

$$x = h \pm \sqrt{\frac{-k}{a}}$$

x = denklemin kökü

In questa forma, l'espressione sotto la radice quadrata è importante. Se $\frac{-k}{a}$ è negativo, non esistono radici reali.

Nella forma canonica, il discriminante può essere calcolato anche nel modo seguente:

Formül

$$\Delta = -4ak$$

\Delta = diskriminant değeri

Questa forma è particolarmente utile quando è noto il vertice della parabola. Non è necessario sviluppare l'equazione nella forma standard; il risultato può essere ottenuto direttamente dai valori di $a$, $h$ e $k$.

Radici nella forma fattorizzata

Se l'equazione è data in forma fattorizzata, il procedimento è più breve:

Formül

$$a(x - p)(x - q) = 0$$

a = çarpanların önündeki katsayıx = bilinmeyenp = birinci kökq = ikinci kök

Affinché un prodotto sia uguale a zero, almeno uno dei fattori deve essere uguale a zero. Pertanto, le radici sono:

Formül

$$x_1 = p,\quad x_2 = q$$

x_1 = birinci kökx_2 = ikinci kök

Per determinare il discriminante si utilizza la seguente formula:

Formül

$$\Delta = a^2(p - q)^2$$

\Delta = diskriminant değeri

Il coefficiente principale $a$ non modifica la posizione delle radici. Tuttavia, influisce sulla forma verticale della parabola.

Esaminiamo alcuni esempi

Consideriamo innanzitutto la seguente equazione:

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

Qui $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.

Calcoliamo il discriminante:

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$$

Poiché $\Delta = 1$ è positivo, ci aspettiamo due radici reali distinte.

La formula risolutiva è:

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \times 1}$$

La prima radice:

$$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

La seconda radice:

$$x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

Le radici di questa equazione sono $x = 3$ e $x = 2$.

Consideriamo ora un esempio in cui le radici coincidono:

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

I coefficienti sono $a = 1$, $b = -4$, $c = 4$.

$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0$$

Poiché il discriminante è zero, le due radici hanno lo stesso valore:

$$x = \frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$

In questo caso, $x = 2$ è una radice doppia. Nel grafico, la parabola è tangente all'asse $x$ in questo punto.

Consideriamo anche un caso senza radici reali:

$$x^2 + 2x + 5 = 0$$

Qui $a = 1$, $b = 2$, $c = 5$.

$$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16$$

Poiché $\Delta < 0$, non esistono radici reali. La parabola non interseca l'asse $x$.

Esempio dalla forma canonica

Consideriamo l'equazione:

$$(x - 2)^2 - 1 = 0$$

Qui $a = 1$, $h = 2$, $k = -1$.

Applichiamo la formula delle radici:

$$x = 2 \pm \sqrt{\frac{-(-1)}{1}}$$

$$x = 2 \pm \sqrt{1}$$

Da cui:

$$x_1 = 2 + 1 = 3$$

$$x_2 = 2 - 1 = 1$$

Possiamo verificare lo stesso risultato anche mediante il discriminante:

$$\Delta = -4 \times 1 \times (-1) = 4$$

Poiché il discriminante è positivo, esistono due radici reali distinte.

Consideriamo anche un'equazione in forma canonica priva di radici reali:

$$(x - 2)^2 + 1 = 0$$

Questa volta $a = 1$, $h = 2$, $k = 1$.

L'espressione sotto la radice quadrata è:

$$\frac{-k}{a} = \frac{-1}{1} = -1$$

Nell'insieme dei numeri reali non è possibile calcolare la radice quadrata di un numero negativo. Pertanto, l'equazione non possiede radici reali.

Anche il discriminante indica lo stesso risultato:

$$\Delta = -4 \times 1 \times 1 = -4$$

Poiché $\Delta < 0$, non esistono radici reali.

Esempio da un'equazione fattorizzata

Nella seguente equazione, le radici sono quasi immediatamente visibili:

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Uno dei fattori deve essere uguale a zero:

$$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$

$$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$

Qui $a = 1$, $p = 2$, $q = 3$.

Il discriminante è:

$$\Delta = 1^2(2 - 3)^2 = 1$$

Le radici sono $x = 2$ e $x = 3$.

Un esempio con coefficiente principale può essere il seguente:

$$5(x + 1)(x - 4) = 0$$

L'espressione $x + 1$ può essere interpretata come $x - (-1)$:

$$5(x - (-1))(x - 4) = 0$$

In questo caso $a = 5$, $p = -1$, $q = 4$.

Le radici sono:

$$x_1 = -1$$

$$x_2 = 4$$

Il discriminante è:

$$\Delta = 5^2(-1 - 4)^2 = 25 \times 25 = 625$$

Il coefficiente $5$ non modifica le radici. Le radici derivano comunque dai fattori. Il coefficiente determina soprattutto quanto il grafico appare stretto o largo in direzione verticale.

Interpretazione dei risultati

Se $\Delta > 0$, l'equazione possiede due radici reali distinte. Nel grafico, la parabola interseca l'asse $x$ in due punti diversi.

Se $\Delta = 0$, viene visualizzato un solo valore reale della radice. In realtà, le due radici coincidono nello stesso punto. La parabola è tangente all'asse $x$.

Se $\Delta < 0$, non esistono radici reali. L'equazione può essere risolta utilizzando i numeri complessi, ma se lo strumento mostra soltanto le radici reali, nella sezione dei risultati verrà indicato che non esistono radici reali.

Per verificare una radice trovata, è possibile sostituirne il valore nell'equazione iniziale.

Ad esempio, proviamo il valore $x = 2$ nell'equazione $x^2 - 5x + 6 = 0$:

$$2^2 - 5 \times 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$

Poiché l'uguaglianza è soddisfatta, $x = 2$ è effettivamente una delle radici di questa equazione.

Aspetti da considerare durante l'utilizzo

Non inserire zero per $a$. In questo caso, l'equazione non è di secondo grado.
Se si lavora con la forma standard, portare tutti i termini sullo stesso lato dell'uguaglianza.
Inserire i coefficienti negativi insieme al segno meno.
Considerare pari a $0$ il coefficiente di un termine assente nell'equazione.
Nella forma canonica, prestare attenzione al segno nell'espressione $x - h$.
Nella forma fattorizzata, $x + 1$ equivale a $x - (-1)$.
Con coefficienti decimali possono verificarsi piccole differenze dovute all'arrotondamento.
Il risultato «nessuna radice reale» spesso non indica un errore; il discriminante potrebbe essere negativo.

Dove viene utilizzato?

Questo tipo di equazioni non compare soltanto negli esercizi di algebra. Le equazioni di secondo grado vengono utilizzate anche nei grafici delle parabole, nei problemi di moto, nei problemi di area e nei calcoli dei valori massimi e minimi.

Questo strumento è particolarmente utile nelle seguenti situazioni:

Per verificare un calcolo eseguito con la formula risolutiva
Per determinare dove una parabola interseca l'asse $x$
Per verificare il risultato di una scomposizione in fattori
Per risolvere equazioni derivanti da problemi di traiettoria o di moto in fisica
Per eseguire un controllo rapido nelle domande d'esame
Per osservare come coefficienti diversi modificano le radici

Durante lo svolgimento degli esercizi, è più istruttivo utilizzare lo strumento per verificare il risultato anziché soltanto per ottenerlo. Eseguire prima il calcolo autonomamente e poi inserire i valori nello strumento rende più facile individuare il passaggio in cui è stato commesso un errore.

Risolutore di equazioni quadratiche

Inserimento dell'equazione

Che cosa bisogna inserire nello strumento?

Quando un'equazione è di secondo grado?

Che cosa indica il discriminante?

Radici nella forma canonica

Radici nella forma fattorizzata

Esaminiamo alcuni esempi

Esempio dalla forma canonica

Esempio da un'equazione fattorizzata

Interpretazione dei risultati

Aspetti da considerare durante l'utilizzo

Dove viene utilizzato?

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Domande frequenti

Riferimenti e fonti