Solucionador de ecuaciones cuadráticas
Calcule el discriminante y las raíces reales a partir de la forma estándar, de vértice o factorizada.
Las ecuaciones de segundo grado pueden parecer algo recargadas a primera vista. Cuando \(a\), \(b\), \(c\), el discriminante y la fórmula cuadrática aparecen al mismo tiempo, puede resultar difícil saber por dónde empezar. Esta herramienta calcula el discriminante, el número de raíces reales y las propias raíces según la forma en que introduzca la ecuación.
Puede escribir la ecuación en su forma estándar. Si dispone de la forma de vértice, también puede utilizarla. Si la ecuación ya está factorizada, también es posible ver las raíces directamente.
Introducción de la ecuación
La herramienta funciona con tres formas de escritura diferentes.
En la forma estándar, la ecuación se escribe así:
Formül
Al seleccionar esta forma, debe introducir los valores de \(a\), \(b\) y \(c\).
La forma de vértice es la siguiente:
Formül
En esta forma se utilizan los valores de \(a\), \(h\) y \(k\).
La forma factorizada es la siguiente:
Formül
En este caso, las raíces suelen poder leerse directamente en la ecuación. Aun así, el coeficiente \(a\) influye en el cálculo del discriminante.
¿Qué debemos introducir en la herramienta?
Si la ecuación tiene la forma \(x^2 - 5x + 6 = 0\), seleccione la forma estándar. En este ejemplo, los valores son:
\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)
Si la ecuación tiene la forma \((x - 2)^2 - 1 = 0\), la forma de vértice es más adecuada:
\(a = 1\), \(h = 2\), \(k = -1\)
Si la ecuación tiene la forma \((x - 2)(x - 3) = 0\), puede utilizar la forma factorizada:
\(a = 1\), \(p = 2\), \(q = 3\)
Aquí hay un pequeño detalle relacionado con el signo. La expresión \(x + 1\) equivale a \(x - (-1)\) en la forma factorizada. Por lo tanto, si aparece el factor \(x + 1\), la raíz correspondiente es \(-1\).
¿Cuándo se forma una ecuación de segundo grado?
Para que una ecuación sea de segundo grado, la mayor potencia de la incógnita debe ser 2. Su forma general es:
Formül
El coeficiente \(a\) no puede ser cero. Si \(a = 0\), el término \(x^2\) desaparece y la ecuación deja de ser de segundo grado para convertirse en una ecuación de primer grado.
Por ejemplo, \(3x^2 - 2x + 1 = 0\) es una ecuación de segundo grado. Sin embargo, al escribir \(0x^2 - 2x + 1 = 0\), solo queda \(-2x + 1 = 0\).
¿Qué indica el discriminante?
Para analizar las raíces de una ecuación en forma estándar, primero se calcula el discriminante:
Formül
El signo del discriminante determina el número de raíces reales:
Formül
Es decir, si \(\Delta > 0\), hay dos raíces reales distintas. Si \(\Delta = 0\), las raíces coinciden. Cuando \(\Delta < 0\), la ecuación no tiene solución dentro de los números reales.
Las raíces se calculan con la siguiente fórmula:
Formül
Raíces en la forma de vértice
Si la ecuación está en forma de vértice, podemos hallar directamente las raíces mediante la siguiente fórmula:
Formül
En esta forma, es importante el valor de la expresión situada dentro de la raíz cuadrada. Si \(\frac{-k}{a}\) es negativo, no existen raíces reales.
En la forma de vértice, el discriminante también puede calcularse de la siguiente manera:
Formül
Esta forma resulta especialmente útil cuando se conoce el vértice de la parábola. No es necesario desarrollar la ecuación para convertirla a la forma estándar; se puede obtener el resultado directamente con los valores de \(a\), \(h\) y \(k\).
Raíces en la forma factorizada
Si la ecuación se proporciona en forma factorizada, el procedimiento es más breve:
Formül
Para que un producto sea igual a cero, al menos uno de sus factores debe ser cero. Por lo tanto, las raíces son:
Formül
Para calcular el discriminante puede utilizarse la siguiente fórmula:
Formül
El coeficiente principal \(a\) no cambia la posición de las raíces, pero sí afecta al aspecto vertical de la parábola.
Veamos algunos ejemplos
Consideremos primero la siguiente ecuación:
$$x^2 - 5x + 6 = 0$$
Aquí, \(a = 1\), \(b = -5\) y \(c = 6\).
Calculemos el discriminante:
$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$$
Como \(\Delta = 1\) es positivo, esperamos dos raíces reales distintas.
Fórmula cuadrática:
$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \times 1}$$
Primera raíz:
$$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$
Segunda raíz:
$$x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$$
Las raíces de esta ecuación son \(x = 3\) y \(x = 2\).
Veamos ahora un ejemplo en el que las raíces coinciden:
$$x^2 - 4x + 4 = 0$$
Los coeficientes son \(a = 1\), \(b = -4\) y \(c = 4\).
$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0$$
Como el discriminante es cero, ambas raíces tienen el mismo valor:
$$x = \frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$
En este caso, la raíz doble es \(x = 2\). En la gráfica, la parábola es tangente al eje \(x\) en ese punto.
Veamos también un caso sin raíces reales:
$$x^2 + 2x + 5 = 0$$
Aquí, \(a = 1\), \(b = 2\) y \(c = 5\).
$$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16$$
Como \(\Delta < 0\), no existen raíces reales. La parábola no corta el eje \(x\).
Ejemplo con la forma de vértice
Consideremos la ecuación:
$$(x - 2)^2 - 1 = 0$$
Aquí, \(a = 1\), \(h = 2\) y \(k = -1\).
Apliquemos la fórmula de las raíces:
$$x = 2 \pm \sqrt{\frac{-(-1)}{1}}$$
$$x = 2 \pm \sqrt{1}$$
De aquí se obtiene:
$$x_1 = 2 + 1 = 3$$
$$x_2 = 2 - 1 = 1$$
También podemos comprobar el mismo resultado mediante el discriminante:
$$\Delta = -4 \times 1 \times (-1) = 4$$
Como el discriminante es positivo, existen dos raíces reales distintas.
Veamos también una ecuación en forma de vértice que no tiene raíces reales:
$$(x - 2)^2 + 1 = 0$$
En este caso, \(a = 1\), \(h = 2\) y \(k = 1\).
La expresión dentro de la raíz cuadrada es:
$$\frac{-k}{a} = \frac{-1}{1} = -1$$
No es posible calcular la raíz cuadrada de un número negativo dentro de los números reales. Por lo tanto, la ecuación no tiene raíces reales.
El discriminante indica lo mismo:
$$\Delta = -4 \times 1 \times 1 = -4$$
Como \(\Delta < 0\), no se encuentran raíces reales.
Ejemplo de una ecuación factorizada
En la siguiente ecuación, las raíces pueden verse casi de inmediato:
$$(x - 2)(x - 3) = 0$$
Uno de los factores debe ser igual a cero:
$$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$
$$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$
Aquí, \(a = 1\), \(p = 2\) y \(q = 3\).
Discriminante:
$$\Delta = 1^2(2 - 3)^2 = 1$$
Las raíces son \(x = 2\) y \(x = 3\).
Un ejemplo con coeficiente principal sería:
$$5(x + 1)(x - 4) = 0$$
Podemos interpretar la expresión \(x + 1\) como \(x - (-1)\):
$$5(x - (-1))(x - 4) = 0$$
En este caso, \(a = 5\), \(p = -1\) y \(q = 4\).
Las raíces son:
$$x_1 = -1$$
$$x_2 = 4$$
Discriminante:
$$\Delta = 5^2(-1 - 4)^2 = 25 \times 25 = 625$$
El coeficiente \(5\) no modifica las raíces. Las raíces siguen procediendo de los factores. El coeficiente está relacionado principalmente con lo estrecha o ancha que se ve la gráfica en la dirección vertical.
Cómo interpretar los resultados
Si \(\Delta > 0\), la ecuación tiene dos raíces reales distintas. En la gráfica, la parábola corta el eje \(x\) en dos puntos diferentes.
Si \(\Delta = 0\), aparece un único valor de raíz real. En realidad, las dos raíces coinciden en el mismo punto. La parábola es tangente al eje \(x\).
Si \(\Delta < 0\), no existen raíces reales. La ecuación puede resolverse utilizando números complejos, pero si la herramienta solo muestra raíces reales, en la sección de resultados se indicará que no existen raíces reales.
Para comprobar una raíz obtenida, puede sustituir su valor en la ecuación original.
Por ejemplo, probemos el valor \(x = 2\) en la ecuación \(x^2 - 5x + 6 = 0\):
$$2^2 - 5 \times 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$
Como se cumple la igualdad, \(x = 2\) es efectivamente una de las raíces de esta ecuación.
Aspectos que debe tener en cuenta
- No introduzca \(0\) como valor de \(a\). En ese caso, la ecuación no sería de segundo grado.
- Si trabaja con la forma estándar, reúna todos los términos en el mismo lado de la igualdad.
- Escriba los coeficientes negativos junto con el signo menos.
- Considere que el coeficiente de cualquier término ausente en la ecuación es \(0\).
- En la forma de vértice, preste atención al signo de la expresión \(x - h\).
- En la forma factorizada, \(x + 1\) equivale a \(x - (-1)\).
- Con coeficientes decimales pueden producirse pequeñas diferencias de redondeo.
- El resultado «no hay raíces reales» no suele indicar un error; es posible que el discriminante sea negativo.
¿Dónde resulta útil?
Este tipo de ecuaciones no aparece únicamente en ejercicios de álgebra. Las ecuaciones de segundo grado también se utilizan en gráficas de parábolas, problemas de movimiento, cálculos de áreas y determinación de valores máximos y mínimos.
Puede utilizar esta herramienta especialmente en los siguientes casos:
- Para comprobar los cálculos realizados con la fórmula cuadrática
- Para hallar dónde corta la parábola el eje \(x\)
- Para confirmar el resultado de una factorización
- Para resolver ecuaciones procedentes de problemas de trayectoria o movimiento en física
- Para realizar comprobaciones rápidas en preguntas de examen
- Para observar cómo modifican las raíces distintos coeficientes
Al resolver ejercicios, resulta más educativo utilizar la herramienta para comprobar el resultado que limitarse a obtener la respuesta. Si primero realiza los cálculos por su cuenta y después introduce los valores en la herramienta, le resultará más fácil identificar el paso en el que cometió un error.