Kalkulator równań kwadratowych
Oblicz wyróżnik i pierwiastki rzeczywiste z postaci ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej.
Równania kwadratowe mogą na pierwszy rzut oka wydawać się nieco skomplikowane. Gdy jednocześnie pojawiają się \(a\), \(b\), \(c\), wyróżnik i wzór na pierwiastki, łatwo stracić orientację, od czego zacząć. To narzędzie oblicza wyróżnik, liczbę pierwiastków rzeczywistych oraz same pierwiastki w zależności od postaci, w jakiej podano równanie.
Równanie można zapisać w postaci ogólnej. Jeśli jest dostępne w postaci kanonicznej, również można jej użyć. Gdy równanie jest już rozłożone na czynniki, pierwiastki można odczytać bezpośrednio.
Wprowadzanie równania
Narzędzie obsługuje trzy różne postacie zapisu.
W postaci ogólnej równanie zapisuje się następująco:
Formül
Po wybraniu tej postaci należy wprowadzić wartości \(a\), \(b\) i \(c\).
Postać kanoniczna wygląda następująco:
Formül
W tej postaci używane są wartości \(a\), \(h\) i \(k\).
Postać iloczynowa wygląda natomiast tak:
Formül
W tym przypadku pierwiastki można zwykle odczytać bezpośrednio z równania. Mimo to współczynnik \(a\) wpływa na obliczenie wyróżnika.
Co należy wpisać do narzędzia?
Jeśli równanie ma postać \(x^2 - 5x + 6 = 0\), wybierz postać ogólną. W tym przykładzie wartości są następujące:
\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)
Jeśli równanie ma postać \((x - 2)^2 - 1 = 0\), bardziej odpowiednia będzie postać kanoniczna:
\(a = 1\), \(h = 2\), \(k = -1\)
Jeśli równanie ma postać \((x - 2)(x - 3) = 0\), można użyć postaci iloczynowej:
\(a = 1\), \(p = 2\), \(q = 3\)
Należy zwrócić uwagę na drobny szczegół związany ze znakiem. Wyrażenie \(x + 1\) w postaci iloczynowej oznacza \(x - (-1)\). Dlatego jeśli występuje czynnik \(x + 1\), odpowiadającym mu pierwiastkiem jest \(-1\).
Kiedy równanie jest kwadratowe?
Aby równanie było kwadratowe, najwyższa potęga niewiadomej musi wynosić 2. Jego postać ogólna jest następująca:
Formül
Współczynnik \(a\) nie może być równy zero. Jeśli \(a = 0\), składnik \(x^2\) znika. Równanie przestaje wtedy być kwadratowe i staje się równaniem liniowym.
Na przykład \(3x^2 - 2x + 1 = 0\) jest równaniem kwadratowym. Natomiast po zapisaniu \(0x^2 - 2x + 1 = 0\) pozostaje jedynie \(-2x + 1 = 0\).
Co pokazuje wyróżnik?
Aby przeanalizować pierwiastki równania w postaci ogólnej, najpierw oblicza się wyróżnik:
Formül
Znak wyróżnika określa liczbę pierwiastków rzeczywistych:
Formül
Jeśli \(\Delta > 0\), istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Jeśli \(\Delta = 0\), pierwiastki są równe. Gdy \(\Delta < 0\), równanie nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
Pierwiastki oblicza się za pomocą następującego wzoru:
Formül
Pierwiastki w postaci kanonicznej
Jeśli równanie jest zapisane w postaci kanonicznej, pierwiastki można obliczyć bezpośrednio ze wzoru:
Formül
W tej postaci istotna jest wartość wyrażenia pod pierwiastkiem. Jeśli \(\frac{-k}{a}\) jest ujemne, nie istnieją pierwiastki rzeczywiste.
Wyróżnik w postaci kanonicznej można również obliczyć w następujący sposób:
Formül
Ta postać jest szczególnie przydatna, gdy znany jest wierzchołek paraboli. Nie trzeba rozwijać równania do postaci ogólnej; wynik można otrzymać bezpośrednio z wartości \(a\), \(h\) i \(k\).
Pierwiastki w postaci iloczynowej
Jeśli równanie podano w postaci iloczynowej, rozwiązanie jest krótsze:
Formül
Aby iloczyn był równy zero, co najmniej jeden z czynników musi być równy zero. Zatem pierwiastki są następujące:
Formül
Aby obliczyć wyróżnik, można użyć wzoru:
Formül
Współczynnik główny \(a\) nie zmienia położenia pierwiastków, ale wpływa na pionowy kształt paraboli.
Przeanalizujmy kilka przykładów
Rozważmy najpierw równanie:
$$x^2 - 5x + 6 = 0$$
Tutaj \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\).
Obliczmy wyróżnik:
$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$$
Ponieważ \(\Delta = 1\) jest dodatnia, oczekujemy dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych.
Wzór na pierwiastki:
$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \times 1}$$
Pierwszy pierwiastek:
$$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$
Drugi pierwiastek:
$$x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$$
Pierwiastkami tego równania są \(x = 3\) oraz \(x = 2\).
Spójrzmy teraz na przykład, w którym pierwiastki są równe:
$$x^2 - 4x + 4 = 0$$
Współczynniki wynoszą \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 4\).
$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0$$
Ponieważ wyróżnik jest równy zero, oba pierwiastki mają tę samą wartość:
$$x = \frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$
W tym przypadku pierwiastkiem podwójnym jest \(x = 2\). Na wykresie parabola jest styczna do osi \(x\) w tym punkcie.
Przeanalizujmy również przypadek bez pierwiastków rzeczywistych:
$$x^2 + 2x + 5 = 0$$
Tutaj \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
$$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16$$
Ponieważ \(\Delta < 0\), nie istnieją pierwiastki rzeczywiste. Parabola nie przecina osi \(x\).
Przykład z postaci kanonicznej
Rozważmy równanie:
$$(x - 2)^2 - 1 = 0$$
Tutaj \(a = 1\), \(h = 2\), \(k = -1\).
Zastosujmy wzór na pierwiastki:
$$x = 2 \pm \sqrt{\frac{-(-1)}{1}}$$
$$x = 2 \pm \sqrt{1}$$
Otrzymujemy:
$$x_1 = 2 + 1 = 3$$
$$x_2 = 2 - 1 = 1$$
Ten sam wynik można sprawdzić za pomocą wyróżnika:
$$\Delta = -4 \times 1 \times (-1) = 4$$
Ponieważ wyróżnik jest dodatni, istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
Rozważmy także równanie w postaci kanonicznej, które nie ma pierwiastków rzeczywistych:
$$(x - 2)^2 + 1 = 0$$
Tym razem \(a = 1\), \(h = 2\), \(k = 1\).
Wyrażenie pod pierwiastkiem wynosi:
$$\frac{-k}{a} = \frac{-1}{1} = -1$$
W zbiorze liczb rzeczywistych nie można obliczyć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. Dlatego równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Wyróżnik potwierdza ten sam wynik:
$$\Delta = -4 \times 1 \times 1 = -4$$
Ponieważ \(\Delta < 0\), nie istnieją pierwiastki rzeczywiste.
Przykład równania w postaci iloczynowej
W poniższym równaniu pierwiastki można dostrzec niemal od razu:
$$(x - 2)(x - 3) = 0$$
Jeden z czynników musi być równy zero:
$$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$
$$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$
Tutaj \(a = 1\), \(p = 2\), \(q = 3\).
Wyróżnik:
$$\Delta = 1^2(2 - 3)^2 = 1$$
Pierwiastkami są \(x = 2\) oraz \(x = 3\).
Przykład ze współczynnikiem głównym może wyglądać następująco:
$$5(x + 1)(x - 4) = 0$$
Wyrażenie \(x + 1\) można zapisać jako \(x - (-1)\):
$$5(x - (-1))(x - 4) = 0$$
W tym przypadku \(a = 5\), \(p = -1\), \(q = 4\).
Pierwiastki:
$$x_1 = -1$$
$$x_2 = 4$$
Wyróżnik:
$$\Delta = 5^2(-1 - 4)^2 = 25 \times 25 = 625$$
Współczynnik \(5\) nie zmienia pierwiastków. Nadal wynikają one z czynników. Współczynnik ten wpływa głównie na to, jak wąska lub szeroka jest parabola w kierunku pionowym.
Interpretowanie wyników
Jeśli \(\Delta > 0\), równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Na wykresie parabola przecina oś \(x\) w dwóch różnych punktach.
Jeśli \(\Delta = 0\), widoczna jest jedna wartość pierwiastka rzeczywistego. W rzeczywistości oba pierwiastki łączą się w tym samym punkcie. Parabola jest styczna do osi \(x\).
Jeśli \(\Delta < 0\), nie istnieją pierwiastki rzeczywiste. Równanie można rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych, ale jeśli narzędzie pokazuje wyłącznie pierwiastki rzeczywiste, w sekcji wyników pojawi się informacja o ich braku.
Aby sprawdzić otrzymany pierwiastek, można podstawić jego wartość do równania początkowego.
Na przykład sprawdźmy wartość \(x = 2\) w równaniu \(x^2 - 5x + 6 = 0\):
$$2^2 - 5 \times 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$
Ponieważ równość jest spełniona, \(x = 2\) jest rzeczywiście jednym z pierwiastków tego równania.
Na co zwrócić uwagę podczas korzystania z narzędzia
- Nie wpisuj wartości \(0\) dla \(a\). W takim przypadku równanie nie będzie kwadratowe.
- Jeśli pracujesz z postacią ogólną, przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę równania.
- Ujemne współczynniki wpisuj razem ze znakiem minus.
- Przyjmij, że współczynnik brakującego wyrazu w równaniu jest równy \(0\).
- W postaci kanonicznej zwróć uwagę na znak w wyrażeniu \(x - h\).
- W postaci iloczynowej \(x + 1\) oznacza \(x - (-1)\).
- Przy współczynnikach dziesiętnych mogą wystąpić niewielkie różnice wynikające z zaokrągleń.
- Wynik „brak pierwiastków rzeczywistych” zazwyczaj nie oznacza błędu; wyróżnik może być ujemny.
Gdzie znajduje zastosowanie?
Tego rodzaju równania pojawiają się nie tylko w ćwiczeniach algebraicznych. Równania kwadratowe stosuje się również przy wykresach parabol, problemach ruchu, zadaniach dotyczących pola oraz obliczaniu wartości maksymalnych i minimalnych.
Narzędzie jest szczególnie przydatne w następujących sytuacjach:
- Podczas sprawdzania obliczeń wykonanych za pomocą wzoru na pierwiastki
- Przy ustalaniu, gdzie parabola przecina oś \(x\)
- Gdy chcesz potwierdzić wynik rozkładu na czynniki
- Podczas rozwiązywania równań wynikających z problemów ruchu lub toru w fizyce
- Przy szybkim sprawdzaniu odpowiedzi w zadaniach egzaminacyjnych
- Gdy chcesz zobaczyć, jak różne współczynniki wpływają na pierwiastki
Podczas rozwiązywania ćwiczeń bardziej pouczające jest używanie narzędzia do sprawdzania wyniku, a nie wyłącznie do jego uzyskania. Najpierw wykonaj obliczenia samodzielnie, a następnie wprowadź wartości do narzędzia. Ułatwi to znalezienie etapu, na którym popełniono błąd.