Nilai apa yang harus saya masukkan?

Nilai yang diperlukan bergantung pada bentuk yang dipilih. Masukkan $a$, $b$, $c$ untuk bentuk standar; $a$, $h$, $k$ untuk bentuk puncak; dan $a$, $p$, $q$ untuk bentuk terfaktorkan.

Bagaimana cara menemukan akar dalam bentuk terfaktorkan?

Pada persamaan berbentuk $a(x - p)(x - q) = 0$, akarnya langsung $x = p$ dan $x = q$.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat?

Jika persamaan kuadrat diberikan dalam bentuk standar, mulailah dengan menghitung diskriminan. Kemudian gunakan rumus kuadrat sesuai nilai diskriminan untuk menemukan akar real persamaan.

Apa rumus persamaan kuadrat?

Metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah rumus kuadrat: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ Diskriminan dalam rumus dihitung dengan $\Delta = b^2 - 4ac$.

Apa arti diskriminan?

Diskriminan menunjukkan jumlah akar real suatu persamaan. Jika positif, ada dua akar real; jika nol, ada satu; jika negatif, tidak ada akar real.

Apa yang terjadi jika $a = 0$?

Jika $a = 0$, persamaan tersebut tidak lagi merupakan persamaan kuadrat. Suku $x^2$ hilang dan persamaan berubah menjadi persamaan linear.

Apa yang harus dilakukan jika ada suku yang hilang?

Gunakan $0$ sebagai koefisien suku yang hilang. Contohnya, pada $x^2 - 16 = 0$, nilai $b = 0$.

Apa perbedaan antara bentuk puncak dan bentuk standar?

Bentuk standar menampilkan koefisien persamaan dengan jelas. Bentuk puncak menunjukkan langsung titik puncak parabola, yaitu $(h, k)$.

Apa arti hasil “tidak ada akar real”?

Artinya persamaan tidak memiliki solusi dalam himpunan bilangan real. Pada grafik, parabola tidak memotong sumbu x.

Bisakah perhitungan dilakukan dengan koefisien desimal?

Ya. Koefisien dapat berupa bilangan bulat, pecahan, atau desimal. Namun, perhitungan dengan nilai desimal dapat menghasilkan sedikit perbedaan pembulatan.

Apa kesalahan yang paling umum?

Kesalahan yang paling umum adalah memasukkan koefisien tanpa terlebih dahulu mengubah persamaan ke bentuk standar. Pastikan terutama bahwa tanda negatif dimasukkan dengan benar.

Penyelesai Persamaan Kuadrat

Hitung diskriminan dan akar real dari bentuk standar, bentuk puncak, atau bentuk terfaktorkan.

Persamaan kuadrat dapat terlihat cukup rumit pada pandangan pertama. Terutama ketika $a$, $b$, $c$, diskriminan, dan rumus akar muncul secara bersamaan, menentukan harus mulai dari mana dapat membingungkan. Alat hitung ini menghitung diskriminan, jumlah akar real, dan nilai akar berdasarkan bentuk persamaan yang Anda masukkan.

Anda dapat menuliskan persamaan dalam bentuk standar. Jika Anda memiliki bentuk puncak, bentuk tersebut juga dapat digunakan. Jika persamaan sudah difaktorkan, akarnya juga dapat dilihat secara langsung.

Memasukkan Persamaan

Alat ini bekerja dengan tiga bentuk penulisan yang berbeda.

Dalam bentuk standar, persamaan ditulis sebagai berikut:

Formül

$$ax^2 + bx + c = 0$$

a = ikinci dereceli terimin katsayısıb = birinci dereceli terimin katsayısıc = sabit terimx = bilinmeyen

Saat memilih bentuk ini, Anda harus memasukkan nilai $a$, $b$, dan $c$.

Bentuk puncak ditulis sebagai berikut:

Formül

$$a(x - h)^2 + k = 0$$

a = parabolün açılma yönünü ve genişliğini belirleyen katsayıh = tepe noktasının x koordinatık = tepe noktasının y koordinatıx = bilinmeyen

Dalam bentuk ini, nilai $a$, $h$, dan $k$ digunakan.

Bentuk terfaktorkan ditulis sebagai berikut:

Formül

$$a(x - p)(x - q) = 0$$

a = çarpanların önündeki katsayıp = birinci kökq = ikinci kökx = bilinmeyen

Dalam bentuk ini, akar sering kali dapat dibaca langsung dari persamaan. Namun, koefisien $a$ tetap memengaruhi perhitungan diskriminan.

Apa yang Harus Dimasukkan ke Alat?

Jika persamaannya berbentuk $x^2 - 5x + 6 = 0$, pilih bentuk standar. Nilai dalam contoh ini adalah:

$a = 1$, $b = -5$, $c = 6$

Jika persamaannya berbentuk $(x - 2)^2 - 1 = 0$, bentuk puncak lebih sesuai:

$a = 1$, $h = 2$, $k = -1$

Jika persamaannya berbentuk $(x - 2)(x - 3) = 0$, Anda dapat menggunakan bentuk terfaktorkan:

$a = 1$, $p = 2$, $q = 3$

Ada satu detail kecil mengenai tanda yang perlu diperhatikan. Dalam bentuk terfaktorkan, ekspresi $x + 1$ berarti $x - (-1)$. Oleh karena itu, jika terdapat faktor $x + 1$, akar yang sesuai adalah $-1$.

Kapan Suatu Persamaan Disebut Persamaan Kuadrat?

Agar suatu persamaan menjadi persamaan kuadrat, pangkat tertinggi dari variabelnya harus 2. Bentuk umumnya tetap sebagai berikut:

Formül

$$ax^2 + bx + c = 0$$

a = ikinci dereceli terimin katsayısıb = birinci dereceli terimin katsayısıc = sabit terimx = bilinmeyen

Koefisien $a$ tidak boleh bernilai nol. Jika $a = 0$, suku $x^2$ akan hilang. Persamaan tersebut tidak lagi menjadi persamaan kuadrat, tetapi menjadi persamaan linear.

Sebagai contoh, $3x^2 - 2x + 1 = 0$ adalah persamaan kuadrat. Namun, jika ditulis sebagai $0x^2 - 2x + 1 = 0$, yang tersisa hanyalah $-2x + 1 = 0$.

Apa yang Ditunjukkan oleh Diskriminan?

Untuk memeriksa akar suatu persamaan dalam bentuk standar, diskriminan dihitung terlebih dahulu:

Formül

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

\Delta = diskriminant değeri

Tanda diskriminan menentukan jumlah akar real:

Formül

$$N = \begin{cases} 2, & \Delta > 0 \\ 1, & \Delta = 0 \\ 0, & \Delta < 0 \end{cases}$$

N = gerçek kök sayısı\Delta = diskriminant değeri

Jadi, jika $\Delta > 0$, terdapat dua akar real yang berbeda. Jika $\Delta = 0$, kedua akar berimpit. Jika $\Delta < 0$, persamaan tidak memiliki penyelesaian dalam bilangan real.

Akar dihitung dengan rumus berikut:

Formül

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

x = denklemin kökü

Akar dalam Bentuk Puncak

Jika persamaan diberikan dalam bentuk puncak, akar dapat ditemukan secara langsung dengan rumus berikut:

Formül

$$x = h \pm \sqrt{\frac{-k}{a}}$$

x = denklemin kökü

Dalam bentuk ini, ekspresi di dalam akar kuadrat sangat penting. Jika $\frac{-k}{a}$ bernilai negatif, tidak ada akar real.

Dalam bentuk puncak, diskriminan juga dapat dihitung sebagai berikut:

Formül

$$\Delta = -4ak$$

\Delta = diskriminant değeri

Bentuk ini sangat berguna ketika titik puncak parabola diketahui. Persamaan tidak perlu dikembangkan menjadi bentuk standar; hasilnya dapat diperoleh langsung dari nilai $a$, $h$, dan $k$.

Akar dalam Bentuk Terfaktorkan

Jika persamaan diberikan dalam bentuk terfaktorkan, prosesnya lebih singkat:

Formül

$$a(x - p)(x - q) = 0$$

a = çarpanların önündeki katsayıx = bilinmeyenp = birinci kökq = ikinci kök

Agar suatu hasil kali bernilai nol, setidaknya salah satu faktornya harus bernilai nol. Oleh karena itu, akarnya adalah:

Formül

$$x_1 = p,\quad x_2 = q$$

x_1 = birinci kökx_2 = ikinci kök

Untuk menentukan diskriminan, gunakan rumus berikut:

Formül

$$\Delta = a^2(p - q)^2$$

\Delta = diskriminant değeri

Koefisien utama $a$ tidak mengubah posisi akar. Namun, koefisien ini memengaruhi bentuk vertikal parabola.

Mari Kita Bahas Beberapa Contoh

Mari kita mulai dengan persamaan berikut:

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

Di sini, $a = 1$, $b = -5$, dan $c = 6$.

Mari kita hitung diskriminannya:

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$$

Karena $\Delta = 1$ bernilai positif, kita mengharapkan dua akar real yang berbeda.

Rumus akarnya adalah:

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \times 1}$$

Akar pertama:

$$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Akar kedua:

$$x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

Akar persamaan ini adalah $x = 3$ dan $x = 2$.

Sekarang mari kita lihat contoh ketika kedua akar berimpit:

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

Koefisiennya adalah $a = 1$, $b = -4$, dan $c = 4$.

$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0$$

Karena diskriminannya nol, kedua akar menghasilkan nilai yang sama:

$$x = \frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$

Dalam kasus ini, $x = 2$ adalah akar kembar. Pada grafik, parabola menyinggung sumbu $x$ di titik ini.

Mari kita lihat juga kasus tanpa akar real:

$$x^2 + 2x + 5 = 0$$

Di sini, $a = 1$, $b = 2$, dan $c = 5$.

$$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16$$

Karena $\Delta < 0$, tidak ada akar real. Parabola tidak memotong sumbu $x$.

Contoh dari Bentuk Puncak

Misalkan persamaannya adalah:

$$(x - 2)^2 - 1 = 0$$

Di sini, $a = 1$, $h = 2$, dan $k = -1$.

Mari kita terapkan rumus akar:

$$x = 2 \pm \sqrt{\frac{-(-1)}{1}}$$

$$x = 2 \pm \sqrt{1}$$

Dari sini diperoleh:

$$x_1 = 2 + 1 = 3$$

$$x_2 = 2 - 1 = 1$$

Kita juga dapat memeriksa hasil yang sama dengan diskriminan:

$$\Delta = -4 \times 1 \times (-1) = 4$$

Karena diskriminannya positif, terdapat dua akar real yang berbeda.

Mari kita lihat juga persamaan dalam bentuk puncak yang tidak memiliki akar real:

$$(x - 2)^2 + 1 = 0$$

Kali ini, $a = 1$, $h = 2$, dan $k = 1$.

Ekspresi di dalam akar kuadrat adalah:

$$\frac{-k}{a} = \frac{-1}{1} = -1$$

Dalam bilangan real, akar kuadrat dari bilangan negatif tidak dapat dihitung. Oleh karena itu, persamaan ini tidak memiliki akar real.

Diskriminan juga menunjukkan hal yang sama:

$$\Delta = -4 \times 1 \times 1 = -4$$

Karena $\Delta < 0$, tidak terdapat akar real.

Contoh dari Persamaan Terfaktorkan

Dalam persamaan berikut, akar hampir dapat dilihat secara langsung:

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Salah satu faktor harus bernilai nol:

$$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$

$$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$

Di sini, $a = 1$, $p = 2$, dan $q = 3$.

Diskriminannya adalah:

$$\Delta = 1^2(2 - 3)^2 = 1$$

Akarnya adalah $x = 2$ dan $x = 3$.

Contoh dengan koefisien utama dapat ditulis sebagai berikut:

$$5(x + 1)(x - 4) = 0$$

Ekspresi $x + 1$ dapat dianggap sebagai $x - (-1)$:

$$5(x - (-1))(x - 4) = 0$$

Dalam kasus ini, $a = 5$, $p = -1$, dan $q = 4$.

Akarnya adalah:

$$x_1 = -1$$

$$x_2 = 4$$

Diskriminannya adalah:

$$\Delta = 5^2(-1 - 4)^2 = 25 \times 25 = 625$$

Koefisien $5$ tidak mengubah akar. Akar tetap berasal dari faktor-faktornya. Koefisien tersebut terutama menentukan seberapa sempit atau lebar grafik terlihat dalam arah vertikal.

Membaca Hasil

Jika $\Delta > 0$, persamaan memiliki dua akar real yang berbeda. Pada grafik, parabola memotong sumbu $x$ di dua titik yang berbeda.

Jika $\Delta = 0$, hanya satu nilai akar real yang terlihat. Sebenarnya, kedua akar berimpit pada titik yang sama. Parabola menyinggung sumbu $x$.

Jika $\Delta < 0$, tidak ada akar real. Persamaan dapat diselesaikan menggunakan bilangan kompleks, tetapi jika alat hanya menampilkan akar real, bagian hasil akan menyatakan bahwa tidak terdapat akar real.

Untuk memeriksa akar yang diperoleh, Anda dapat mensubstitusikan nilainya kembali ke persamaan awal.

Sebagai contoh, mari kita uji $x = 2$ pada persamaan $x^2 - 5x + 6 = 0$:

$$2^2 - 5 \times 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$

Karena persamaan terpenuhi, $x = 2$ benar-benar merupakan salah satu akar persamaan tersebut.

Hal yang Perlu Diperhatikan Saat Menggunakan Alat

Jangan masukkan nilai nol untuk $a$. Dalam kondisi ini, persamaan bukan persamaan kuadrat.
Jika menggunakan bentuk standar, pindahkan semua suku ke sisi yang sama dari persamaan.
Masukkan koefisien negatif bersama tanda minusnya.
Anggap koefisien suku yang tidak ada dalam persamaan sebagai $0$.
Dalam bentuk puncak, perhatikan tanda pada ekspresi $x - h$.
Dalam bentuk terfaktorkan, $x + 1$ berarti $x - (-1)$.
Perbedaan pembulatan kecil dapat muncul pada koefisien desimal.
Hasil “tidak ada akar real” sering kali bukan kesalahan; diskriminannya mungkin bernilai negatif.

Di Mana Persamaan Ini Digunakan?

Persamaan semacam ini tidak hanya muncul dalam latihan aljabar. Persamaan kuadrat juga digunakan dalam grafik parabola, masalah gerak, soal luas, serta perhitungan nilai maksimum dan minimum.

Alat ini sangat berguna terutama dalam situasi berikut:

Memeriksa perhitungan yang dilakukan dengan rumus kuadrat
Menentukan titik tempat parabola memotong sumbu $x$
Memastikan hasil faktorisasi
Menyelesaikan persamaan yang muncul dalam masalah lintasan atau gerak dalam fisika
Melakukan pemeriksaan cepat pada soal ujian
Melihat bagaimana koefisien yang berbeda mengubah akar

Saat mengerjakan latihan, akan lebih mendidik jika alat digunakan untuk memeriksa hasil, bukan hanya untuk memperoleh hasil. Mengerjakan perhitungan terlebih dahulu, kemudian memasukkan nilainya ke dalam alat, akan memudahkan Anda menemukan langkah tempat kesalahan terjadi.

Penyelesai Persamaan Kuadrat

Memasukkan Persamaan

Apa yang Harus Dimasukkan ke Alat?

Kapan Suatu Persamaan Disebut Persamaan Kuadrat?

Apa yang Ditunjukkan oleh Diskriminan?

Akar dalam Bentuk Puncak

Akar dalam Bentuk Terfaktorkan

Mari Kita Bahas Beberapa Contoh

Contoh dari Bentuk Puncak

Contoh dari Persamaan Terfaktorkan

Membaca Hasil

Hal yang Perlu Diperhatikan Saat Menggunakan Alat

Di Mana Persamaan Ini Digunakan?

How we tested it

Pertanyaan Umum

Referensi dan Sumber