ما القيم التي يجب إدخالها؟

تختلف القيم حسب الصورة المختارة. في الصورة القياسية أدخل $a$، $b$، $c$؛ وفي صورة الرأس أدخل $a$، $h$، $k$؛ وفي الصورة المحللة أدخل $a$، $p$، $q$.

كيف تُوجد الجذور في الصورة المحللة؟

في المعادلة على الصورة $a(x - p)(x - q) = 0$، تكون الجذور مباشرة $x = p$ و$x = q$.

كيف تُحل المعادلة التربيعية؟

إذا كانت المعادلة التربيعية مكتوبة بالصورة القياسية، فابدأ بحساب المميّز. ثم استخدم صيغة الجذور وفقًا لقيمة المميّز لإيجاد الجذور الحقيقية للمعادلة.

ما صيغة حل المعادلة التربيعية؟

أكثر الطرق استخدامًا لحل المعادلات التربيعية هي صيغة الجذور: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ويُحسب المميّز في الصيغة من العلاقة $\Delta = b^2 - 4ac$.

ماذا يعني المميّز؟

يبيّن المميّز عدد الجذور الحقيقية للمعادلة. إذا كان موجبًا فلها جذران حقيقيان، وإذا كان صفرًا فلها جذر واحد، وإذا كان سالبًا فلا توجد جذور حقيقية.

ماذا يحدث إذا كان $a = 0$؟

عندما يكون $a = 0$، لا تعود المعادلة تربيعية، لأن حد $x^2$ يختفي وتتحول المعادلة إلى معادلة خطية.

ماذا أفعل إذا كان هناك حد مفقود؟

اعتبر معامل الحد المفقود مساويًا لـ $0$. على سبيل المثال، في المعادلة $x^2 - 16 = 0$ يكون $b = 0$.

ما الفرق بين صورة الرأس والصورة القياسية؟

تُظهر الصورة القياسية معاملات المعادلة بوضوح، بينما تُظهر صورة الرأس رأس القطع المكافئ مباشرة، أي $(h, k)$.

ماذا تعني نتيجة «لا توجد جذور حقيقية»؟

تعني أن المعادلة لا تملك حلًا ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية. وعلى الرسم البياني، لا يقطع القطع المكافئ محور x.

هل يمكن إجراء الحساب بمعاملات عشرية؟

نعم. يمكن أن تكون المعاملات أعدادًا صحيحة أو كسورًا أو أعدادًا عشرية. لكن قد تظهر فروق تقريب صغيرة عند استخدام القيم العشرية.

ما الخطأ الأكثر شيوعًا؟

الخطأ الأكثر شيوعًا هو إدخال المعاملات قبل تحويل المعادلة إلى الصورة القياسية. يجب التأكد خصوصًا من إدخال الإشارات السالبة بشكل صحيح.

حلال المعادلات التربيعية

احسب المميز والجذور الحقيقية من الصيغة القياسية أو صيغة الرأس أو الصيغة المحللة إلى عوامل.

قد تبدو المعادلات التربيعية مزدحمة قليلًا للوهلة الأولى. فعندما تظهر $a$ و$b$ و$c$ والمميّز وصيغة الجذور معًا، قد يصعب تحديد نقطة البداية. تحسب هذه الأداة المميّز وعدد الجذور الحقيقية والجذور نفسها وفقًا للصيغة التي تُدخل بها المعادلة.

يمكنك كتابة المعادلة بالصورة القياسية. وإذا كانت لديك بصيغة الرأس، فيمكنك استخدامها أيضًا. وإذا كانت المعادلة محللة بالفعل إلى عوامل، فمن الممكن رؤية الجذور مباشرة.

إدخال المعادلة

تعمل الأداة بثلاث صيغ مختلفة للكتابة.

تُكتب المعادلة بالصورة القياسية كما يلي:

Formül

$$ax^2 + bx + c = 0$$

a = ikinci dereceli terimin katsayısıb = birinci dereceli terimin katsayısıc = sabit terimx = bilinmeyen

عند اختيار هذه الصيغة، يجب إدخال قيم $a$ و$b$ و$c$.

أما صيغة الرأس فهي:

Formül

$$a(x - h)^2 + k = 0$$

a = parabolün açılma yönünü ve genişliğini belirleyen katsayıh = tepe noktasının x koordinatık = tepe noktasının y koordinatıx = bilinmeyen

في هذه الصيغة تُستخدم قيم $a$ و$h$ و$k$.

أما الصيغة المحللة إلى عوامل فهي:

Formül

$$a(x - p)(x - q) = 0$$

a = çarpanların önündeki katsayıp = birinci kökq = ikinci kökx = bilinmeyen

يمكن غالبًا قراءة الجذور مباشرة من المعادلة هنا. ومع ذلك، يؤثر المعامل $a$ في حساب المميّز.

ما القيم التي ندخلها في الأداة؟

إذا كانت المعادلة على الصورة $x^2 - 5x + 6 = 0$، فاختر الصورة القياسية. وتكون القيم في هذا المثال كما يلي:

$a = 1$، $b = -5$، $c = 6$

إذا كانت المعادلة على الصورة $(x - 2)^2 - 1 = 0$، فصيغة الرأس أنسب:

$a = 1$، $h = 2$، $k = -1$

إذا كانت المعادلة على الصورة $(x - 2)(x - 3) = 0$، فيمكنك استخدام الصيغة المحللة إلى عوامل:

$a = 1$، $p = 2$، $q = 3$

هناك تفصيل صغير يتعلق بالإشارة. فالعبارة $x + 1$ تعني في الصيغة المحللة إلى عوامل $x - (-1)$. لذلك، إذا كان العامل هو $x + 1$، فإن الجذر المقابل هو $-1$.

متى تكون المعادلة تربيعية؟

لكي تكون المعادلة تربيعية، يجب أن تكون أعلى قوة للمجهول هي 2. والصيغة العامة هي:

Formül

$$ax^2 + bx + c = 0$$

a = ikinci dereceli terimin katsayısıb = birinci dereceli terimin katsayısıc = sabit terimx = bilinmeyen

لا يمكن أن يكون المعامل $a$ مساويًا للصفر. لأن $a = 0$ يؤدي إلى اختفاء الحد $x^2$، وعندها لا تعود المعادلة تربيعية، بل تصبح معادلة خطية.

على سبيل المثال، $3x^2 - 2x + 1 = 0$ معادلة تربيعية. أما عند كتابة $0x^2 - 2x + 1 = 0$، فلا يبقى سوى $-2x + 1 = 0$.

ماذا يوضح المميّز؟

لفحص جذور معادلة بالصورة القياسية، يُحسب المميّز أولًا:

Formül

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

\Delta = diskriminant değeri

تحدد إشارة المميّز عدد الجذور الحقيقية:

Formül

$$N = \begin{cases} 2, & \Delta > 0 \\ 1, & \Delta = 0 \\ 0, & \Delta < 0 \end{cases}$$

N = gerçek kök sayısı\Delta = diskriminant değeri

أي إذا كان $\Delta > 0$، فهناك جذران حقيقيان مختلفان. وإذا كان $\Delta = 0$، يتطابق الجذران. أما إذا كان $\Delta < 0$، فلا يوجد حل ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية.

تُحسب الجذور بالصيغة التالية:

Formül

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

x = denklemin kökü

الجذور في صيغة الرأس

إذا كانت المعادلة بصيغة الرأس، فيمكن إيجاد الجذور مباشرة بالصيغة التالية:

Formül

$$x = h \pm \sqrt{\frac{-k}{a}}$$

x = denklemin kökü

في هذه الصيغة، يجب الانتباه إلى التعبير داخل الجذر التربيعي. فإذا كانت $\frac{-k}{a}$ سالبة، فلا توجد جذور حقيقية.

يمكن أيضًا حساب المميّز في صيغة الرأس كما يلي:

Formül

$$\Delta = -4ak$$

\Delta = diskriminant değeri

تكون هذه الصيغة مفيدة خصوصًا عندما يكون رأس القطع المكافئ معلومًا. ولا حاجة إلى توسيع المعادلة إلى الصورة القياسية؛ إذ يمكن الوصول إلى النتيجة باستخدام قيم $a$ و$h$ و$k$.

الجذور في الصيغة المحللة إلى عوامل

إذا كانت المعادلة معطاة بصيغة محللة إلى عوامل، فالحل أقصر:

Formül

$$a(x - p)(x - q) = 0$$

a = çarpanların önündeki katsayıx = bilinmeyenp = birinci kökq = ikinci kök

لكي يكون حاصل ضرب مساويًا للصفر، يجب أن يكون أحد العوامل على الأقل مساويًا للصفر. لذلك تكون الجذور:

Formül

$$x_1 = p,\quad x_2 = q$$

x_1 = birinci kökx_2 = ikinci kök

ولحساب المميّز يمكن استخدام الصيغة التالية:

Formül

$$\Delta = a^2(p - q)^2$$

\Delta = diskriminant değeri

لا يغيّر المعامل الرئيسي $a$ مواقع الجذور، لكنه يؤثر في شكل القطع المكافئ رأسيًا.

لنراجع بعض الأمثلة

لتكن المعادلة الأولى:

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

هنا $a = 1$، و$b = -5$، و$c = 6$.

لنحسب المميّز:

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$$

بما أن $\Delta = 1$ موجب، نتوقع وجود جذرين حقيقيين مختلفين.

صيغة الجذور:

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \times 1}$$

الجذر الأول:

$$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

الجذر الثاني:

$$x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

جذرا هذه المعادلة هما $x = 3$ و$x = 2$.

لننظر الآن إلى مثال يتطابق فيه الجذران:

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

المعاملات هي $a = 1$، و$b = -4$، و$c = 4$.

$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0$$

بما أن المميّز يساوي صفرًا، فإن الجذرين يعطيان القيمة نفسها:

$$x = \frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$

في هذه الحالة، الجذر المزدوج هو $x = 2$. وعلى الرسم البياني، يمس القطع المكافئ محور $x$ عند هذه النقطة.

ولنرَ أيضًا حالة لا توجد فيها جذور حقيقية:

$$x^2 + 2x + 5 = 0$$

هنا $a = 1$، و$b = 2$، و$c = 5$.

$$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16$$

بما أن $\Delta < 0$، فلا توجد جذور حقيقية. ولا يقطع القطع المكافئ محور $x$.

مثال من صيغة الرأس

لتكن المعادلة:

$$(x - 2)^2 - 1 = 0$$

هنا $a = 1$، و$h = 2$، و$k = -1$.

لنطبق صيغة الجذور:

$$x = 2 \pm \sqrt{\frac{-(-1)}{1}}$$

$$x = 2 \pm \sqrt{1}$$

ومنها:

$$x_1 = 2 + 1 = 3$$

$$x_2 = 2 - 1 = 1$$

يمكننا التحقق من النتيجة نفسها باستخدام المميّز:

$$\Delta = -4 \times 1 \times (-1) = 4$$

بما أن المميّز موجب، فهناك جذران حقيقيان مختلفان.

ولنكتب أيضًا معادلة بصيغة الرأس لا تعطي جذورًا حقيقية:

$$(x - 2)^2 + 1 = 0$$

هذه المرة $a = 1$، و$h = 2$، و$k = 1$.

التعبير داخل الجذر:

$$\frac{-k}{a} = \frac{-1}{1} = -1$$

لا يمكن أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب ضمن الأعداد الحقيقية. لذلك لا توجد للمعادلة جذور حقيقية.

ويؤكد المميّز النتيجة نفسها:

$$\Delta = -4 \times 1 \times 1 = -4$$

بما أن $\Delta < 0$، فلا توجد جذور حقيقية.

مثال على معادلة محللة إلى عوامل

في المعادلة التالية يمكن رؤية الجذور تقريبًا مباشرة:

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

يجب أن يكون أحد العاملين مساويًا للصفر:

$$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$

$$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$

هنا $a = 1$، و$p = 2$، و$q = 3$.

المميّز:

$$\Delta = 1^2(2 - 3)^2 = 1$$

الجذران هما $x = 2$ و$x = 3$.

ومثال بمعامل رئيسي:

$$5(x + 1)(x - 4) = 0$$

يمكن اعتبار $x + 1$ على أنه $x - (-1)$:

$$5(x - (-1))(x - 4) = 0$$

إذًا $a = 5$، و$p = -1$، و$q = 4$.

الجذور:

$$x_1 = -1$$

$$x_2 = 4$$

المميّز:

$$\Delta = 5^2(-1 - 4)^2 = 25 \times 25 = 625$$

لا يغيّر المعامل $5$ الجذور؛ فالجذور تأتي من العوامل. ويتعلق هذا المعامل أساسًا بمدى ضيق أو اتساع الرسم البياني رأسيًا.

قراءة النتائج

إذا كان $\Delta > 0$، فللمعادلة جذران حقيقيان مختلفان. وعلى الرسم البياني، يقطع القطع المكافئ محور $x$ عند نقطتين مختلفتين.

إذا كان $\Delta = 0$، فتظهر قيمة واحدة لجذر حقيقي. وفي الواقع، يلتقي الجذران عند النقطة نفسها، ويمس القطع المكافئ محور $x$.

إذا كان $\Delta < 0$، فلا توجد جذور حقيقية. يمكن حل المعادلة باستخدام الأعداد المركبة، لكن إذا كانت الأداة تعرض الجذور الحقيقية فقط، فسيظهر في قسم النتائج أنه لا توجد جذور حقيقية.

للتحقق من الجذر الذي وجدته، يمكنك تعويض قيمته في المعادلة الأصلية.

على سبيل المثال، لنجرب القيمة $x = 2$ في المعادلة $x^2 - 5x + 6 = 0$:

$$2^2 - 5 \times 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$

بما أن المساواة صحيحة، فإن $x = 2$ هو بالفعل أحد جذري هذه المعادلة.

نقاط يجب الانتباه إليها عند الاستخدام

لا تُدخل القيمة $0$ للمعامل $a$، لأن المعادلة لن تكون تربيعية في هذه الحالة.
عند العمل بالصورة القياسية، اجمع جميع الحدود في طرف واحد من المعادلة.
اكتب المعاملات السالبة مع إشارة الطرح.
اعتبر معامل الحد المفقود في المعادلة مساويًا لـ$0$.
في صيغة الرأس، انتبه إلى الإشارة في التعبير $x - h$.
في الصيغة المحللة إلى عوامل، يعني $x + 1$ التعبير $x - (-1)$.
قد تظهر فروق تقريب صغيرة عند استخدام معاملات عشرية.
نتيجة «لا توجد جذور حقيقية» لا تعني وجود خطأ بالضرورة؛ فقد يكون المميّز سالبًا.

أين تُستخدم؟

لا تظهر هذه المعادلات في تمارين الجبر فقط. بل تُستخدم أيضًا في رسوم القطع المكافئ، ومسائل الحركة، ومسائل المساحة، وحساب القيم العظمى والصغرى.

يمكنك استخدام هذه الأداة خصوصًا في الحالات التالية:

للتحقق من العمليات التي أجريتها باستخدام صيغة الجذور
لإيجاد نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محور $x$
للتأكد من نتيجة تحليل المعادلة إلى عوامل
لحل المعادلات الناتجة عن مسائل المسار أو الحركة في الفيزياء
لإجراء تحقق سريع في أسئلة الاختبارات
لمعرفة كيف تغيّر المعاملات المختلفة الجذور

عند حل التمارين خصوصًا، يكون استخدام الأداة للتحقق من النتيجة أكثر فائدة للتعلم من استخدامها للحصول على الجواب فقط. نفّذ الحل بنفسك أولًا، ثم أدخل القيم في الأداة؛ فهذا يسهّل تحديد الخطوة التي وقع فيها الخطأ.

حلال المعادلات التربيعية

إدخال المعادلة

ما القيم التي ندخلها في الأداة؟

متى تكون المعادلة تربيعية؟

ماذا يوضح المميّز؟

الجذور في صيغة الرأس

الجذور في الصيغة المحللة إلى عوامل

لنراجع بعض الأمثلة

مثال من صيغة الرأس

مثال على معادلة محللة إلى عوامل

قراءة النتائج

نقاط يجب الانتباه إليها عند الاستخدام

أين تُستخدم؟

How we tested it

الأسئلة الشائعة

المراجع والمصادر