Löser für quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen können auf den ersten Blick etwas unübersichtlich wirken. Besonders wenn \(a\), \(b\), \(c\), die Diskriminante und die Lösungsformel gleichzeitig auftauchen, ist oft nicht sofort klar, wo man beginnen soll. Dieses Berechnungswerkzeug ermittelt abhängig von der eingegebenen Gleichungsform die Diskriminante, die Anzahl der reellen Nullstellen und die Nullstellen selbst.

Sie können die Gleichung in der Normalform eingeben. Liegt sie in Scheitelpunktform vor, können Sie auch diese verwenden. Ist die Gleichung bereits faktorisiert, lassen sich die Nullstellen direkt ablesen.

Eingabe der Gleichung

Das Werkzeug unterstützt drei verschiedene Darstellungsformen.

In der Normalform wird die Gleichung wie folgt geschrieben:

Wenn Sie diese Form auswählen, müssen Sie die Werte für \(a\), \(b\) und \(c\) eingeben.

Die Scheitelpunktform lautet:

In dieser Form werden die Werte \(a\), \(h\) und \(k\) verwendet.

Die faktorisierte Form lautet:

Hier lassen sich die Nullstellen meist direkt aus der Gleichung ablesen. Der Koeffizient \(a\) wirkt sich dennoch auf die Berechnung der Diskriminante aus.

Was wird in das Werkzeug eingegeben?

Liegt die Gleichung in der Form \(x^2 - 5x + 6 = 0\) vor, wählen Sie die Normalform. In diesem Beispiel lauten die Werte:

\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)

Liegt die Gleichung in der Form \((x - 2)^2 - 1 = 0\) vor, ist die Scheitelpunktform besser geeignet:

\(a = 1\), \(h = 2\), \(k = -1\)

Liegt die Gleichung in der Form \((x - 2)(x - 3) = 0\) vor, können Sie die faktorisierte Form verwenden:

\(a = 1\), \(p = 2\), \(q = 3\)

Dabei ist ein kleines Vorzeichendetail zu beachten. Der Ausdruck \(x + 1\) bedeutet in der faktorisierten Form \(x - (-1)\). Enthält die Gleichung also den Faktor \(x + 1\), ist die zugehörige Nullstelle \(-1\).

Wann ist eine Gleichung quadratisch?

Damit eine Gleichung quadratisch ist, muss die höchste Potenz der Unbekannten 2 sein. Die allgemeine Form lautet wiederum:

Der Koeffizient \(a\) darf nicht null sein. Denn bei \(a = 0\) fällt der Term \(x^2\) weg. Die Gleichung ist dann nicht mehr quadratisch, sondern linear.

Beispielsweise ist \(3x^2 - 2x + 1 = 0\) eine quadratische Gleichung. Wird dagegen \(0x^2 - 2x + 1 = 0\) geschrieben, bleibt nur \(-2x + 1 = 0\) übrig.

Was zeigt die Diskriminante?

Bei einer Gleichung in Normalform wird zur Untersuchung der Nullstellen zunächst die Diskriminante berechnet:

Das Vorzeichen der Diskriminante bestimmt die Anzahl der reellen Nullstellen:

Ist \(\Delta > 0\), gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen. Ist \(\Delta = 0\), fallen die Nullstellen zusammen. Bei \(\Delta < 0\) besitzt die Gleichung innerhalb der reellen Zahlen keine Lösung.

Die Nullstellen werden mit der folgenden Formel berechnet:

Nullstellen in der Scheitelpunktform

Liegt die Gleichung in Scheitelpunktform vor, können die Nullstellen direkt mit der folgenden Formel bestimmt werden:

In dieser Form ist der Ausdruck unter der Quadratwurzel entscheidend. Ist \(\frac{-k}{a}\) negativ, gibt es keine reellen Nullstellen.

Die Diskriminante kann in der Scheitelpunktform auch wie folgt berechnet werden:

Diese Form ist besonders praktisch, wenn der Scheitelpunkt der Parabel bekannt ist. Die Gleichung muss nicht in die Normalform umgeformt werden; das Ergebnis kann direkt aus den Werten \(a\), \(h\) und \(k\) bestimmt werden.

Nullstellen in der faktorisierten Form

Ist die Gleichung in faktorisierter Form gegeben, ist der Rechenweg kürzer:

Damit ein Produkt null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein. Daher lauten die Nullstellen:

Zur Berechnung der Diskriminante wird folgende Formel verwendet:

Der Leitkoeffizient \(a\) verändert die Lage der Nullstellen nicht. Er beeinflusst jedoch die vertikale Form der Parabel.

Einige Beispiele

Betrachten wir zunächst die folgende Gleichung:

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

Hier gilt \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\).

Berechnen wir die Diskriminante:

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$$

Da \(\Delta = 1\) positiv ist, erwarten wir zwei verschiedene reelle Nullstellen.

Die Lösungsformel lautet:

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \times 1}$$

Die erste Nullstelle:

$$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Die zweite Nullstelle:

$$x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

Die Nullstellen dieser Gleichung sind \(x = 3\) und \(x = 2\).

Betrachten wir nun ein Beispiel, bei dem die Nullstellen zusammenfallen:

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

Die Koeffizienten lauten \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 4\).

$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0$$

Da die Diskriminante null ist, besitzen beide Nullstellen denselben Wert:

$$x = \frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$

In diesem Fall ist \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle. Im Graphen berührt die Parabel die \(x\)-Achse an diesem Punkt.

Betrachten wir außerdem einen Fall ohne reelle Nullstellen:

$$x^2 + 2x + 5 = 0$$

Hier gilt \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).

$$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16$$

Da \(\Delta < 0\) ist, gibt es keine reellen Nullstellen. Die Parabel schneidet die \(x\)-Achse nicht.

Beispiel mit der Scheitelpunktform

Betrachten wir die Gleichung:

$$(x - 2)^2 - 1 = 0$$

Hier gilt \(a = 1\), \(h = 2\), \(k = -1\).

Wenden wir die Formel für die Nullstellen an:

$$x = 2 \pm \sqrt{\frac{-(-1)}{1}}$$

$$x = 2 \pm \sqrt{1}$$

Daraus folgt:

$$x_1 = 2 + 1 = 3$$

$$x_2 = 2 - 1 = 1$$

Dasselbe Ergebnis lässt sich auch mit der Diskriminante überprüfen:

$$\Delta = -4 \times 1 \times (-1) = 4$$

Da die Diskriminante positiv ist, gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen.

Betrachten wir außerdem eine Gleichung in Scheitelpunktform ohne reelle Nullstellen:

$$(x - 2)^2 + 1 = 0$$

Diesmal gilt \(a = 1\), \(h = 2\), \(k = 1\).

Der Ausdruck unter der Quadratwurzel lautet:

$$\frac{-k}{a} = \frac{-1}{1} = -1$$

Innerhalb der reellen Zahlen kann aus einer negativen Zahl keine Quadratwurzel gezogen werden. Daher besitzt die Gleichung keine reellen Nullstellen.

Die Diskriminante zeigt dasselbe Ergebnis:

$$\Delta = -4 \times 1 \times 1 = -4$$

Da \(\Delta < 0\) ist, gibt es keine reellen Nullstellen.

Beispiel mit einer faktorisierten Gleichung

Bei der folgenden Gleichung sind die Nullstellen nahezu direkt erkennbar:

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Einer der Faktoren muss null sein:

$$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$

$$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$

Hier gilt \(a = 1\), \(p = 2\), \(q = 3\).

Die Diskriminante lautet:

$$\Delta = 1^2(2 - 3)^2 = 1$$

Die Nullstellen sind \(x = 2\) und \(x = 3\).

Ein Beispiel mit Leitkoeffizient ist:

$$5(x + 1)(x - 4) = 0$$

Der Ausdruck \(x + 1\) kann als \(x - (-1)\) betrachtet werden:

$$5(x - (-1))(x - 4) = 0$$

In diesem Fall gilt \(a = 5\), \(p = -1\), \(q = 4\).

Die Nullstellen sind:

$$x_1 = -1$$

$$x_2 = 4$$

Die Diskriminante lautet:

$$\Delta = 5^2(-1 - 4)^2 = 25 \times 25 = 625$$

Der Koeffizient \(5\) verändert die Nullstellen nicht. Sie ergeben sich weiterhin aus den Faktoren. Der Koeffizient bestimmt hauptsächlich, wie schmal oder breit der Graph in vertikaler Richtung erscheint.

Auswertung der Ergebnisse

Ist \(\Delta > 0\), besitzt die Gleichung zwei verschiedene reelle Nullstellen. Im Graphen schneidet die Parabel die \(x\)-Achse an zwei verschiedenen Punkten.

Ist \(\Delta = 0\), wird nur ein reeller Nullstellenwert angezeigt. Tatsächlich fallen die beiden Nullstellen an derselben Stelle zusammen. Die Parabel berührt die \(x\)-Achse.

Ist \(\Delta < 0\), gibt es keine reellen Nullstellen. Die Gleichung kann mit komplexen Zahlen gelöst werden. Zeigt das Werkzeug jedoch nur reelle Nullstellen an, wird im Ergebnisbereich darauf hingewiesen, dass keine reellen Nullstellen vorhanden sind.

Zur Überprüfung einer berechneten Nullstelle können Sie den Wert in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

Testen wir beispielsweise \(x = 2\) in der Gleichung \(x^2 - 5x + 6 = 0\):

$$2^2 - 5 \times 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$

Da die Gleichung erfüllt ist, ist \(x = 2\) tatsächlich eine der Nullstellen dieser Gleichung.

Hinweise zur Verwendung

• Geben Sie für \(a\) nicht den Wert null ein. In diesem Fall ist die Gleichung nicht quadratisch.
• Wenn Sie mit der Normalform arbeiten, bringen Sie alle Terme auf dieselbe Seite der Gleichung.
• Geben Sie negative Koeffizienten zusammen mit dem Minuszeichen ein.
• Setzen Sie den Koeffizienten eines fehlenden Terms auf \(0\).
• Achten Sie in der Scheitelpunktform auf das Vorzeichen im Ausdruck \(x - h\).
• In der faktorisierten Form bedeutet \(x + 1\) dasselbe wie \(x - (-1)\).
• Bei Dezimalkoeffizienten können geringe Rundungsabweichungen auftreten.
• Das Ergebnis „Keine reellen Nullstellen“ ist häufig kein Fehler; möglicherweise ist die Diskriminante negativ.

Wo wird das verwendet?

Solche Gleichungen treten nicht nur in Algebraübungen auf. Quadratische Gleichungen werden auch bei Parabelgraphen, Bewegungsaufgaben, Flächenproblemen sowie bei der Berechnung von Maximal- und Minimalwerten verwendet.

Dieses Werkzeug ist insbesondere in folgenden Situationen hilfreich:

• Zum Überprüfen einer Berechnung mit der Lösungsformel
• Zum Bestimmen der Schnittpunkte einer Parabel mit der \(x\)-Achse
• Zum Überprüfen eines Ergebnisses nach der Faktorisierung
• Zum Lösen von Gleichungen aus Bahn- oder Bewegungsproblemen in der Physik
• Für eine schnelle Kontrolle bei Prüfungsaufgaben
• Zum Beobachten, wie unterschiedliche Koeffizienten die Nullstellen verändern

Besonders bei Übungen ist es lehrreicher, das Werkzeug nicht nur zur Ermittlung, sondern zur Kontrolle des Ergebnisses zu verwenden. Wenn Sie die Aufgabe zunächst selbst lösen und anschließend die Werte in das Werkzeug eingeben, lässt sich leichter erkennen, in welchem Schritt ein Fehler aufgetreten ist.