Quelles valeurs dois-je saisir ?

Les valeurs dépendent de la forme choisie. Saisissez $a$, $b$, $c$ pour la forme standard ; $a$, $h$, $k$ pour la forme canonique ; et $a$, $p$, $q$ pour la forme factorisée.

Comment trouver les racines sous forme factorisée ?

Dans une équation de la forme $a(x - p)(x - q) = 0$, les racines sont directement $x = p$ et $x = q$.

Comment résoudre une équation du second degré ?

Si une équation du second degré est donnée sous forme standard, commencez par calculer le discriminant. Appliquez ensuite la formule quadratique selon sa valeur afin de déterminer les racines réelles de l’équation.

Quelle est la formule d’une équation du second degré ?

La méthode la plus courante pour résoudre une équation du second degré est la formule quadratique : $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ Le discriminant de la formule se calcule avec $\Delta = b^2 - 4ac$.

Que signifie le discriminant ?

Le discriminant indique le nombre de racines réelles de l’équation. S’il est positif, il y en a deux ; s’il est nul, il y en a une ; s’il est négatif, il n’y a aucune racine réelle.

Que se passe-t-il si $a = 0$ ?

Lorsque $a = 0$, l’équation n’est plus du second degré. Le terme $x^2$ disparaît et l’équation devient une équation du premier degré.

Que faire s’il manque un terme ?

Prenez $0$ comme coefficient du terme manquant. Par exemple, dans $x^2 - 16 = 0$, on a $b = 0$.

Quelle est la différence entre la forme canonique et la forme standard ?

La forme standard affiche clairement les coefficients de l’équation. La forme canonique indique directement le sommet de la parabole, c’est-à-dire $(h, k)$.

Que signifie « aucune racine réelle » ?

Cela signifie que l’équation n’a pas de solution dans l’ensemble des nombres réels. Sur le graphique, la parabole ne coupe pas l’axe des x.

Peut-on effectuer des calculs avec des coefficients décimaux ?

Oui. Les coefficients peuvent être des entiers, des fractions ou des nombres décimaux. Toutefois, de légers écarts d’arrondi peuvent apparaître avec des valeurs décimales.

Quelle est l’erreur la plus fréquente ?

L’erreur la plus fréquente consiste à saisir les coefficients sans avoir d’abord converti l’équation sous forme standard. Vérifiez notamment que les signes négatifs sont correctement saisis.

Solveur d'équations du second degré

Calculez le discriminant et les racines réelles à partir de la forme développée, canonique ou factorisée.

Les équations du second degré peuvent paraître un peu chargées au premier abord. Il peut être difficile de savoir par où commencer, surtout lorsque $a$, $b$, $c$, le discriminant et la formule des racines apparaissent en même temps. Cet outil de calcul détermine le discriminant, le nombre de racines réelles et les racines en fonction de la forme sous laquelle vous saisissez l'équation.

Vous pouvez écrire l'équation sous sa forme standard. Si vous disposez de la forme canonique, vous pouvez également l'utiliser. Si l'équation est déjà factorisée, il est aussi possible de lire directement les racines.

Saisie de l'équation

L'outil fonctionne avec trois formes d'écriture différentes.

Sous la forme standard, l'équation s'écrit comme suit :

Formül

$$ax^2 + bx + c = 0$$

a = ikinci dereceli terimin katsayısıb = birinci dereceli terimin katsayısıc = sabit terimx = bilinmeyen

Lorsque vous sélectionnez cette forme, vous devez saisir les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

La forme canonique s'écrit comme suit :

Formül

$$a(x - h)^2 + k = 0$$

a = parabolün açılma yönünü ve genişliğini belirleyen katsayıh = tepe noktasının x koordinatık = tepe noktasının y koordinatıx = bilinmeyen

Cette forme utilise les valeurs de $a$, $h$ et $k$.

La forme factorisée s'écrit comme suit :

Formül

$$a(x - p)(x - q) = 0$$

a = çarpanların önündeki katsayıp = birinci kökq = ikinci kökx = bilinmeyen

Dans cette forme, les racines peuvent généralement être lues directement dans l'équation. Le coefficient $a$ intervient néanmoins dans le calcul du discriminant.

Que faut-il saisir dans l'outil ?

Si l'équation est $x^2 - 5x + 6 = 0$, sélectionnez la forme standard. Dans cet exemple, les valeurs sont les suivantes :

$a = 1$, $b = -5$, $c = 6$

Si l'équation est $(x - 2)^2 - 1 = 0$, la forme canonique est plus adaptée :

$a = 1$, $h = 2$, $k = -1$

Si l'équation est $(x - 2)(x - 3) = 0$, vous pouvez utiliser la forme factorisée :

$a = 1$, $p = 2$, $q = 3$

Il faut ici tenir compte d'un petit détail de signe. Dans la forme factorisée, l'expression $x + 1$ signifie $x - (-1)$. Par conséquent, si l'équation contient le facteur $x + 1$, la racine correspondante est $-1$.

Quand une équation est-elle du second degré ?

Pour qu'une équation soit du second degré, la plus grande puissance de l'inconnue doit être égale à 2. Sa forme générale est de nouveau la suivante :

Formül

$$ax^2 + bx + c = 0$$

a = ikinci dereceli terimin katsayısıb = birinci dereceli terimin katsayısıc = sabit terimx = bilinmeyen

Le coefficient $a$ ne peut pas être nul. En effet, si $a = 0$, le terme $x^2$ disparaît. L'équation n'est alors plus du second degré, mais du premier degré.

Par exemple, $3x^2 - 2x + 1 = 0$ est une équation du second degré. En revanche, si l'on écrit $0x^2 - 2x + 1 = 0$, il ne reste que $-2x + 1 = 0$.

Que montre le discriminant ?

Pour étudier les racines d'une équation sous forme standard, on calcule d'abord le discriminant :

Formül

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

\Delta = diskriminant değeri

Le signe du discriminant détermine le nombre de racines réelles :

Formül

$$N = \begin{cases} 2, & \Delta > 0 \\ 1, & \Delta = 0 \\ 0, & \Delta < 0 \end{cases}$$

N = gerçek kök sayısı\Delta = diskriminant değeri

Ainsi, si $\Delta > 0$, il existe deux racines réelles distinctes. Si $\Delta = 0$, les racines sont confondues. Si $\Delta < 0$, l'équation n'admet aucune solution dans l'ensemble des nombres réels.

Les racines se calculent avec la formule suivante :

Formül

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

x = denklemin kökü

Racines dans la forme canonique

Si l'équation est donnée sous forme canonique, les racines peuvent être déterminées directement avec la formule suivante :

Formül

$$x = h \pm \sqrt{\frac{-k}{a}}$$

x = denklemin kökü

Dans cette forme, l'expression située sous la racine carrée est importante. Si $\frac{-k}{a}$ est négatif, il n'existe aucune racine réelle.

Sous la forme canonique, le discriminant peut également être calculé comme suit :

Formül

$$\Delta = -4ak$$

\Delta = diskriminant değeri

Cette forme est particulièrement utile lorsque le sommet de la parabole est connu. Il n'est pas nécessaire de développer l'équation sous sa forme standard ; le résultat peut être obtenu directement à partir des valeurs de $a$, $h$ et $k$.

Racines dans la forme factorisée

Si l'équation est donnée sous forme factorisée, le calcul est plus court :

Formül

$$a(x - p)(x - q) = 0$$

a = çarpanların önündeki katsayıx = bilinmeyenp = birinci kökq = ikinci kök

Pour qu'un produit soit nul, au moins l'un de ses facteurs doit être nul. Les racines sont donc :

Formül

$$x_1 = p,\quad x_2 = q$$

x_1 = birinci kökx_2 = ikinci kök

Pour déterminer le discriminant, on utilise la formule suivante :

Formül

$$\Delta = a^2(p - q)^2$$

\Delta = diskriminant değeri

Le coefficient dominant $a$ ne modifie pas la position des racines. Il influence toutefois l'aspect vertical de la parabole.

Examinons quelques exemples

Prenons d'abord l'équation suivante :

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

Ici, $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.

Calculons le discriminant :

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$$

Comme $\Delta = 1$ est positif, nous nous attendons à obtenir deux racines réelles distinctes.

La formule des racines est :

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \times 1}$$

La première racine :

$$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

La deuxième racine :

$$x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

Les racines de cette équation sont $x = 3$ et $x = 2$.

Examinons maintenant un exemple dans lequel les racines sont confondues :

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

Les coefficients sont $a = 1$, $b = -4$, $c = 4$.

$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0$$

Comme le discriminant est nul, les deux racines ont la même valeur :

$$x = \frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$$

Dans ce cas, $x = 2$ est une racine double. Sur le graphique, la parabole est tangente à l'axe des $x$ en ce point.

Examinons également un cas sans racines réelles :

$$x^2 + 2x + 5 = 0$$

Ici, $a = 1$, $b = 2$, $c = 5$.

$$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16$$

Comme $\Delta < 0$, il n'existe aucune racine réelle. La parabole ne coupe pas l'axe des $x$.

Exemple à partir de la forme canonique

Prenons l'équation suivante :

$$(x - 2)^2 - 1 = 0$$

Ici, $a = 1$, $h = 2$, $k = -1$.

Appliquons la formule des racines :

$$x = 2 \pm \sqrt{\frac{-(-1)}{1}}$$

$$x = 2 \pm \sqrt{1}$$

On obtient alors :

$$x_1 = 2 + 1 = 3$$

$$x_2 = 2 - 1 = 1$$

Nous pouvons également vérifier ce résultat avec le discriminant :

$$\Delta = -4 \times 1 \times (-1) = 4$$

Comme le discriminant est positif, il existe deux racines réelles distinctes.

Prenons également une équation sous forme canonique ne possédant aucune racine réelle :

$$(x - 2)^2 + 1 = 0$$

Cette fois, $a = 1$, $h = 2$, $k = 1$.

L'expression située sous la racine carrée est :

$$\frac{-k}{a} = \frac{-1}{1} = -1$$

Dans l'ensemble des nombres réels, il est impossible de calculer la racine carrée d'un nombre négatif. L'équation ne possède donc aucune racine réelle.

Le discriminant indique la même chose :

$$\Delta = -4 \times 1 \times 1 = -4$$

Comme $\Delta < 0$, il n'existe aucune racine réelle.

Exemple à partir d'une équation factorisée

Dans l'équation suivante, les racines sont presque immédiatement visibles :

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

L'un des facteurs doit être nul :

$$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$

$$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$

Ici, $a = 1$, $p = 2$, $q = 3$.

Le discriminant est :

$$\Delta = 1^2(2 - 3)^2 = 1$$

Les racines sont $x = 2$ et $x = 3$.

Voici également un exemple avec un coefficient dominant :

$$5(x + 1)(x - 4) = 0$$

L'expression $x + 1$ peut être interprétée comme $x - (-1)$ :

$$5(x - (-1))(x - 4) = 0$$

Dans ce cas, $a = 5$, $p = -1$, $q = 4$.

Les racines sont :

$$x_1 = -1$$

$$x_2 = 4$$

Le discriminant est :

$$\Delta = 5^2(-1 - 4)^2 = 25 \times 25 = 625$$

Le coefficient $5$ ne modifie pas les racines. Celles-ci proviennent toujours des facteurs. Le coefficient détermine surtout à quel point le graphique paraît étroit ou large dans le sens vertical.

Interprétation des résultats

Si $\Delta > 0$, l'équation possède deux racines réelles distinctes. Sur le graphique, la parabole coupe l'axe des $x$ en deux points différents.

Si $\Delta = 0$, une seule valeur de racine réelle apparaît. En réalité, les deux racines sont confondues au même point. La parabole est tangente à l'axe des $x$.

Si $\Delta < 0$, il n'existe aucune racine réelle. L'équation peut être résolue avec des nombres complexes, mais si l'outil affiche uniquement les racines réelles, la section des résultats indiquera qu'aucune racine réelle n'existe.

Pour vérifier une racine obtenue, vous pouvez remplacer $x$ par sa valeur dans l'équation initiale.

Par exemple, testons $x = 2$ dans l'équation $x^2 - 5x + 6 = 0$ :

$$2^2 - 5 \times 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$

Comme l'égalité est vérifiée, $x = 2$ est bien l'une des racines de cette équation.

Points à prendre en compte lors de l'utilisation

Ne saisissez pas zéro pour $a$. Dans ce cas, l'équation n'est pas du second degré.
Si vous travaillez avec la forme standard, regroupez tous les termes du même côté de l'égalité.
Saisissez les coefficients négatifs avec leur signe moins.
Considérez que le coefficient d'un terme absent de l'équation vaut $0$.
Dans la forme canonique, faites attention au signe dans l'expression $x - h$.
Dans la forme factorisée, $x + 1$ signifie $x - (-1)$.
De légers écarts d'arrondi peuvent apparaître avec les coefficients décimaux.
Le résultat « aucune racine réelle » n'est souvent pas une erreur ; le discriminant peut être négatif.

Dans quels cas est-ce utile ?

Ces équations n'apparaissent pas uniquement dans les exercices d'algèbre. Les équations du second degré sont également utilisées pour les graphiques de paraboles, les problèmes de mouvement, les problèmes d'aire et les calculs de valeurs maximales et minimales.

Cet outil est particulièrement utile dans les situations suivantes :

Vérifier un calcul effectué avec la formule des racines
Déterminer où une parabole coupe l'axe des $x$
Vérifier le résultat d'une factorisation
Résoudre des équations issues de problèmes de trajectoire ou de mouvement en physique
Effectuer une vérification rapide dans des questions d'examen
Observer comment différents coefficients modifient les racines

Lors de la résolution d'exercices, il est plus instructif d'utiliser l'outil pour vérifier le résultat plutôt que pour simplement l'obtenir. Effectuer d'abord le calcul vous-même, puis saisir les valeurs dans l'outil, permet de repérer plus facilement l'étape où une erreur a été commise.

Solveur d'équations du second degré

Saisie de l'équation

Que faut-il saisir dans l'outil ?

Quand une équation est-elle du second degré ?

Que montre le discriminant ?

Racines dans la forme canonique

Racines dans la forme factorisée

Examinons quelques exemples

Exemple à partir de la forme canonique

Exemple à partir d'une équation factorisée

Interprétation des résultats

Points à prendre en compte lors de l'utilisation

Dans quels cas est-ce utile ?

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Questions fréquentes

Références et sources