Kalkulator interpolacji liniowej
Oblicz jedyną wartość pozostawioną pustą wśród pól X1, Y1, X2, Y2, X3 i Y3.
Kalkulator Interpolacji Liniowej
Masz dwa punkty danych, ale nie znasz wartości pomiędzy nimi. Na przykład w tabeli jest temperatura w 10. minucie, jest też temperatura w 30. minucie, ale brakuje 20. minuty. Albo na wykresie masz dwa punkty pomiarowe i chcesz w przybliżeniu odczytać wartość między nimi.
Interpolacja liniowa służy właśnie do tego. Łączysz dwa punkty linią prostą, a potem sprawdzasz, gdzie na tej linii wypada poszukiwana wartość. Tyle z logiki. Jest też wzór, ale nie trzeba go demonizować.
W tym kalkulatorze znajdują się pola X₁, Y₁, X₂, Y₂, X₃, Y₃. Jedno z tych sześciu pól zostawiasz puste, a pozostałe pięć wypełniasz. Narzędzie obliczy brakującą wartość.
Zazwyczaj najczęściej robi się tak: znane są dwa punkty, podaje się wartość X trzeciego punktu i znajduje Y.
Załóżmy, że mamy takie dwa punkty:
\[
(2,4)
\]
\[
(8,16)
\]
Ile wyniesie Y, gdy X przyjmie wartość 5? Nawet na oko wynik powinien leżeć gdzieś między 4 a 16. Kalkulator zamienia to oszacowanie w liczbę.
Cała logika to tak naprawdę nachylenie
Główną ideą interpolacji liniowej jest nachylenie. Nachylenie między dwoma punktami mówi, o ile zmienia się Y, gdy zmienia się X.
\[
m=\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}
\]
Tutaj \(m\) to nachylenie prostej. Czyli opisuje, ile średnio jednostek zmienia się Y, kiedy X przesunie się o jedną jednostkę.
Jeśli szukaną wartością jest Y₃, wzór wygląda tak:
\[
Y_3=Y_1+(X_3-X_1)\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}
\]
Przeczytajmy ten wzór bardziej potocznym językiem: najpierw znajdź nachylenie między dwoma punktami. Potem sprawdź, jak daleko X₃ jest od X₁. Pomnóż tę odległość przez nachylenie i dodaj na wierzch Y₁.
Na przykładzie staje się to dużo jaśniejsze.
\[
(2,4)
\]
\[
(8,16)
\]
Najpierw nachylenie:
\[
m=\frac{16-4}{8-2}=\frac{12}{6}=2
\]
Czyli za każdym razem, gdy X rośnie o 1, Y rośnie o 2. Jeśli X₃ = 5, to jesteś 3 jednostki dalej od punktu X₁ = 2.
\[
Y_3=4+(5-2)\cdot2
\]
\[
Y_3=4+6=10
\]
Wynik: Y₃ = 10.
Myśląc o wykresie, jest jeszcze prościej: pomiędzy (2,4) a (8,16) rysujesz linię wzdłuż linijki. Kiedy dochodzisz do X = 5, linia przechodzi przez poziom Y = 10.
A co jeśli brakuje X?
Czasami znasz wartość Y, ale szukasz, któremu X odpowiada. To zastosowanie tej samej logiki w drugą stronę.
Użyjmy znowu tych samych dwóch punktów:
\[
(2,4)
\]
\[
(8,16)
\]
Tym razem dane jest Y₃ = 10. Ile wynosi X₃?
Nachylenie wciąż wynosi 2. Y zmieniło się z 4 na 10:
\[
10-4=6
\]
Skoro nachylenie to 2, trzeba przesunąć się o 3 jednostki w kierunku X:
\[
\frac{6}{2}=3
\]
Początkowa wartość X wynosiła 2:
\[
X_3=2+3=5
\]
Znów wynik: X₃ = 5.
To właśnie robi kalkulator. Przekształca wzór na odpowiednią stronę za Ciebie. Ty tylko zostawiasz puste to pole, którego wartości szukasz.
Ale nie zostawiaj dwóch pól pustych naraz. Wtedy informacje są niewystarczające. Jeśli żadne pole nie zostanie puste, nie powiesz kalkulatorowi, co ma znaleźć. Jedno puste pole, pięć wypełnionych – to najczystsze użycie.
Uważaj też na zero. Jeśli rzeczywista wartość to 0, koniecznie wpisz 0. Zostawienie pustego pola oznacza „oblicz to”; wpisanie 0 oznacza „ta wartość sama w sobie to zero”. To nie to samo.
A co, jeśli wartość X znajduje się poza zakresem?
Tutaj zaczyna się rozróżnienie między interpolacją a ekstrapolacją.
Niech X₁ = 2 i X₂ = 8. Jeśli wybierzesz X₃ = 5, to 5 leży pomiędzy tymi dwiema wartościami. To jest interpolacja w ścisłym znaczeniu.
Ale jeśli wybierzesz X₃ = 10, to wyszedłeś już poza zakres. Wzór nadal daje wynik; jednak to, co robisz, to raczej przewidywanie na zewnątrz. Czyli przechodzisz na stronę ekstrapolacji.
Dlaczego to ważne? Ponieważ zmiana między dwoma punktami może przebiegać prosto, ale nikt nie gwarantuje, że na zewnątrz będzie kontynuować się tak samo. Szczególnie w danych pomiarowych, prognozach cen, tabelach temperatur czy wynikach eksperymentów to rozróżnienie staje się istotne.
W skrócie: jeśli jesteś w środku, możesz być spokojniejszy. Jeśli na zewnątrz – pomyśl dwa razy.
Codzienny przykład: szacowanie temperatury
Powiedzmy, że w tabeli pomiarowej są dwie wartości:
W 10. minucie temperatura wynosi 18 stopni.
W 30. minucie temperatura wynosi 26 stopni.
Ty chcesz w przybliżeniu znaleźć temperaturę w 20. minucie. Lubię ten przykład, bo od razu pokazuje, co robi interpolacja.
Punkty możemy zapisać tak:
\[
(10,18)
\]
\[
(30,26)
\]
Wartość X szukanego punktu:
\[
X_3=20
\]
Najpierw nachylenie:
\[
m=\frac{26-18}{30-10}=\frac{8}{20}=0.4
\]
To znaczy: co 1 minutę temperatura rośnie średnio o 0,4 stopnia.
Od 10. do 20. minuty jest 10 minut:
\[
20-10=10
\]
Oczekiwany wzrost w tym czasie:
\[
10\cdot0.4=4
\]
Temperatura początkowa wynosiła 18 stopni:
\[
Y_3=18+4=22
\]
Czyli szacowana temperatura w 20. minucie to 22 stopnie.
Specjalnie używam tu słowa „szacowana”. Rzeczywisty pomiar mógłby wyjść 22,1 albo 21,9. My tylko założyliśmy, że wzrost między 10. a 30. minutą przebiegał jak linia prosta.
Czy wynik ma sens?
Po wykonaniu obliczeń dobrze jest zrobić małą kontrolę.
Jeśli X₃ leży między X₁ a X₂ i wartości Y rosną, to znaleziony Y₃ powinien również pozostać między Y₁ a Y₂. W przykładzie z temperaturą Y rosło od 18 do 26. Ponieważ 20. minuta była wewnątrz tego przedziału, wynik musiał być między 18 a 26. Wyszło 22. Sensowne.
Ale gdyby wynik nagle wyszedł 40, trzeba by się zatrzymać i sprawdzić. Pola X i Y mogły się pomieszać. X₃ mogło wypaść poza zakres. Albo któraś z liczb została źle wpisana. Taka mała kontrola wyłapuje niepotrzebne błędy.
Gdzie się to przydaje?
Interpolacja liniowa najbardziej przydaje się do odczytywania wartości między wierszami tabel. Tablice inżynierskie, wyniki eksperymentów, dane temperatura–ciśnienie, odczytywanie wykresów, proste prognozy finansowe... Możesz ją spotkać we wszystkich tych miejscach.
Jeśli jesteś uczniem czy studentem, to właściwie ładny przykład na zrozumienie równania prostej i pojęcia nachylenia. Zamiast wkuwać wzór, pomyśl o tym jak o obserwowaniu zmiany, która wędruje między dwoma punktami.
Oczywiście nie wszystkie dane zachowują się liniowo. Niektóre rzeczy zmieniają się po łuku. W takich sytuacjach interpolacja liniowa staje się zgrubnym przybliżeniem. Ale jeśli przedział jest mały, a zmiana niezbyt gwałtowna, w większości praktycznych zadań daje dobre pierwsze oszacowanie.
Kilka drobnych pułapek
X₁ i X₂ nie mogą być takie same. Ponieważ w obliczeniach nachylenia mianownikiem jest:
\[
X_2-X_1
\]
Jeśli ta różnica wynosi 0, dzielenie jest nieokreślone. Czyli nie możesz wykonać standardowej interpolacji liniowej dla dwóch punktów o tej samej wartości X.
X₁ i Y₁ muszą należeć do tego samego punktu. X₂ i Y₂ do drugiego. Jeśli wpiszesz wartości na krzyż, rachunek wciąż da jakąś liczbę, ale będzie ona leżeć na złej prostej.
Wyniki z ułamkami też są normalne. W większości rzeczywistych danych wynik wychodzi dziesiętny. Kalkulator może zaokrąglić wynik do określonej liczby miejsc; jeśli robisz coś bardzo precyzyjnego, musisz uwzględnić to zaokrąglenie osobno.
Tak czy inaczej, sedno jest takie: wprowadź poprawnie dwa punkty, zostaw puste to jedno pole, którego szukasz, i sprawdź, czy wynik mieści się w przedziale i wygląda sensownie. Praktyczne zastosowanie interpolacji liniowej sprowadza się w dużej mierze do tego.