Calculateur d’interpolation linéaire
Calculez l’unique valeur laissée vide parmi les champs X1, Y1, X2, Y2, X3 et Y3.
Calculateur d’interpolation linéaire
Vous disposez de deux points de données, mais vous ne connaissez pas la valeur située entre les deux. Par exemple, un tableau indique la température à la 10e minute et à la 30e minute, mais pas à la 20e minute. Ou bien deux points de mesure sont connus sur un graphique et vous souhaitez estimer la valeur intermédiaire.
L’interpolation linéaire sert précisément à cela. Vous reliez les deux points par une ligne droite, puis vous déterminez où se situe la valeur recherchée sur cette ligne. Le principe est aussi simple que cela. Il existe bien sûr une formule, mais elle n’a rien d’intimidant.
Ce calculateur comporte les champs X₁, Y₁, X₂, Y₂, X₃ et Y₃. Vous laissez vide l’une de ces six valeurs et vous saisissez les cinq autres. L’outil calcule alors la valeur laissée vide.
Le cas le plus courant est le suivant : deux points sont connus, la valeur X du troisième point est saisie et la valeur Y correspondante est calculée.
Supposons que nous disposions des deux points suivants :
\[
(2,4)
\]
\[
(8,16)
\]
Quelle est la valeur de Y lorsque X vaut 5 ? Même à vue d’œil, le résultat devrait se situer quelque part entre 4 et 16. Le calculateur transforme cette estimation en une valeur numérique précise.
Tout repose en réalité sur la pente
L’idée principale derrière l’interpolation linéaire est la pente. La pente entre deux points indique de combien Y varie lorsque X change.
\[
m=\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}
\]
Ici, \(m\) représente la pente de la droite. Autrement dit, elle indique de combien d’unités Y varie en moyenne lorsque X augmente d’une unité.
Si la valeur recherchée est Y₃, la formule s’écrit ainsi :
\[
Y_3=Y_1+(X_3-X_1)\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}
\]
En langage courant, la formule peut se lire ainsi : commencez par calculer la pente entre les deux points. Déterminez ensuite la distance entre X₃ et X₁. Multipliez cette distance par la pente, puis ajoutez le résultat à Y₁.
Un exemple permet de mieux comprendre.
\[
(2,4)
\]
\[
(8,16)
\]
Calculons d’abord la pente :
\[
m=\frac{16-4}{8-2}=\frac{12}{6}=2
\]
Cela signifie que chaque fois que X augmente de 1, Y augmente de 2. Si X₃ = 5, vous vous trouvez 3 unités après le point X₁ = 2.
\[
Y_3=4+(5-2)\cdot2
\]
\[
Y_3=4+6=10
\]
Résultat : Y₃ = 10.
Sur un graphique, c’est encore plus simple : tracez à la règle une ligne entre (2,4) et (8,16). Lorsque vous arrivez à X = 5, la ligne passe par le niveau Y = 10.
Et si la valeur manquante est X ?
Il arrive que vous connaissiez la valeur Y, mais que vous cherchiez la valeur X correspondante. Il s’agit simplement d’appliquer le même raisonnement dans le sens inverse.
Reprenons les mêmes deux points :
\[
(2,4)
\]
\[
(8,16)
\]
Cette fois, supposons que Y₃ = 10. Quelle est la valeur de X₃ ?
La pente est toujours égale à 2. Y est passé de 4 à 10 :
\[
10-4=6
\]
Comme la pente vaut 2, il faut avancer de 3 unités dans la direction de X :
\[
\frac{6}{2}=3
\]
La valeur X de départ était 2 :
\[
X_3=2+3=5
\]
Le résultat est à nouveau X₃ = 5.
C’est exactement ce que fait le calculateur. Il réorganise la formule pour isoler la variable appropriée. Il vous suffit de laisser vide la valeur que vous souhaitez déterminer.
Ne laissez toutefois pas deux champs vides en même temps. Les informations disponibles ne seraient alors pas suffisantes. À l’inverse, si aucun champ n’est vide, le calculateur ne saura pas quelle valeur rechercher. Un champ vide et cinq champs remplis constituent l’utilisation la plus claire.
Faites également attention au zéro. Si la valeur réelle est 0, saisissez impérativement 0. Laisser un champ vide signifie « calculer cette valeur », tandis que saisir 0 signifie « cette valeur est égale à zéro ». Ce n’est pas la même chose.
Et si la valeur X se trouve hors de l’intervalle ?
C’est ici qu’intervient la distinction entre interpolation et extrapolation.
Supposons que X₁ = 2 et X₂ = 8. Si vous choisissez X₃ = 5, la valeur 5 se trouve entre ces deux valeurs. Il s’agit donc bien d’une interpolation.
En revanche, si vous choisissez X₃ = 10, vous sortez de l’intervalle. La formule produit toujours un résultat, mais vous effectuez cette fois une estimation en dehors de la plage connue. Vous passez alors dans le domaine de l’extrapolation.
Pourquoi cette distinction est-elle importante ? Parce que l’évolution peut être linéaire entre deux points sans nécessairement se poursuivre de la même manière au-delà. Cette différence devient particulièrement importante pour les données de mesure, les prévisions de prix, les tableaux de température ou les résultats expérimentaux.
En résumé : à l’intérieur de l’intervalle, le résultat est généralement plus fiable. À l’extérieur, il faut redoubler de prudence.
Un exemple concret : estimation de la température
Supposons qu’un tableau de mesures contienne les deux valeurs suivantes :
À la 10e minute, la température est de 18 degrés.
À la 30e minute, la température est de 26 degrés.
Vous souhaitez estimer la température à la 20e minute. Cet exemple illustre immédiatement le fonctionnement de l’interpolation.
Les points peuvent s’écrire ainsi :
\[
(10,18)
\]
\[
(30,26)
\]
La valeur X du point recherché est :
\[
X_3=20
\]
Calculons d’abord la pente :
\[
m=\frac{26-18}{30-10}=\frac{8}{20}=0.4
\]
Cela signifie que la température augmente en moyenne de 0,4 degré par minute.
Il y a 10 minutes entre la 10e et la 20e minute :
\[
20-10=10
\]
L’augmentation attendue pendant cette période est donc :
\[
10\cdot0.4=4
\]
La température initiale était de 18 degrés :
\[
Y_3=18+4=22
\]
La température estimée à la 20e minute est donc de 22 degrés.
Le mot « estimée » est important. La mesure réelle pourrait être de 22,1 ou de 21,9. Nous avons simplement supposé que l’augmentation entre la 10e et la 30e minute suivait une ligne droite.
Le résultat est-il cohérent ?
Après le calcul, il est utile d’effectuer une vérification rapide.
Si X₃ se situe entre X₁ et X₂ et que les valeurs Y augmentent, la valeur Y₃ obtenue doit elle aussi se situer entre Y₁ et Y₂. Dans l’exemple de la température, Y passait de 18 à 26. Comme la 20e minute se trouve dans cet intervalle, le résultat devait être compris entre 18 et 26. Nous avons obtenu 22, ce qui est cohérent.
Si le résultat avait soudainement été égal à 40, il aurait fallu vérifier les données. Les champs X et Y ont peut-être été inversés, X₃ se trouve peut-être hors de l’intervalle ou l’un des nombres a été mal saisi. Cette simple vérification permet de repérer de nombreuses erreurs inutiles.
Dans quels domaines est-elle utile ?
L’interpolation linéaire sert principalement à déterminer des valeurs situées entre des entrées de tableau. On la rencontre dans les tableaux d’ingénierie, les résultats expérimentaux, les données de température et de pression, la lecture de graphiques ou encore les prévisions financières simples.
Pour les étudiants, ce sujet constitue également un bon exemple pour comprendre l’équation d’une droite et la notion de pente. Plutôt que de mémoriser une formule, imaginez une variation qui progresse entre deux points.
Bien entendu, toutes les données n’évoluent pas de manière linéaire. Certaines grandeurs suivent une courbe. Dans ce cas, l’interpolation linéaire ne fournit qu’une approximation grossière. Toutefois, lorsque l’intervalle est réduit et que la variation n’est pas trop brusque, elle offre une bonne première estimation dans de nombreuses applications pratiques.
Quelques pièges à éviter
X₁ et X₂ ne doivent pas être égaux. En effet, le dénominateur utilisé pour calculer la pente est :
\[
X_2-X_1
\]
Si cette différence vaut 0, la division est indéfinie. Il est donc impossible d’effectuer une interpolation linéaire standard avec deux points possédant la même valeur X.
X₁ et Y₁ doivent appartenir au même point. X₂ et Y₂ doivent correspondre à l’autre point. Si vous croisez les valeurs, le calcul produira toujours un nombre, mais celui-ci se trouvera sur une droite incorrecte.
Les résultats décimaux sont également tout à fait normaux. Dans les données réelles, le résultat est même souvent décimal. Le calculateur peut arrondir le résultat à un certain nombre de décimales. Si vous effectuez un calcul très précis, il convient de tenir compte de cet arrondi.
En résumé : saisissez correctement les deux points, laissez vide uniquement la valeur recherchée et vérifiez que le résultat semble cohérent dans l’intervalle. Voilà l’essentiel de l’utilisation pratique de l’interpolation linéaire.