حاسبة الاستيفاء الخطي

حاسبة الاستيفاء الخطي

لديك نقطتا بيانات، ولا تعرف القيمة بينهما. مثلاً، في جدولٍ ما تظهر درجة الحرارة عند الدقيقة 10، وتظهر أيضاً عند الدقيقة 30، لكن لا توجد قراءة للدقيقة 20. أو على رسمٍ بياني لديك نقطتا قياس معلومتان، وتريد قراءة القيمة بينهما تقريباً.

الاستيفاء الخطي يُستعمل لهذا الغرض بالضبط. تصل بين النقطتين بخط مستقيم، ثم ترى أين تقع القيمة التي تبحث عنها على ذلك الخط. بهذه البساطة. توجد صيغة رياضية بالطبع، لكن لا داعي لأن تهول في نفسك.

في هذه الحاسبة توجد حقول X₁، Y₁، X₂، Y₂، X₃، Y₃. تترك واحدة فقط من هذه القيم الست فارغة، وتُدخل الخمس الأخرى. الأداة تحسب لك القيمة التي تركتها فارغة.

والأكثر شيوعاً هو: أن تعرف نقطتين، فتُدخل قيمة X للنقطة الثالثة لتجد قيمة Y.

لنقل إن لدينا هاتين النقطتين:

\[
(2,4)
\]

\[
(8,16)
\]

الآن، عندما تكون قيمة X هي 5، كم تكون Y؟ حتى لو نظرت تقديرياً، فالناتج ينبغي أن يكون في مكان ما بين 4 و 16. الحاسبة تحوّل هذا التقدير إلى رقم.

المنطق كله يدور حول الميل

الفكرة الرئيسية وراء الاستيفاء الخطي هي الميل. الميل بين نقطتين يبيّن كم تتغير Y كلما تغيرت X.

\[
m=\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}
\]

هنا \(m\) هو ميل الخط المستقيم. أي إنه يعبّر عن متوسط تغير Y عندما تتحرك X بمقدار وحدة واحدة.

إذا كانت القيمة التي تبحث عنها هي Y₃، فالصيغة تكتب هكذا:

\[
Y_3=Y_1+(X_3-X_1)\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}
\]

لنقرأ الصيغة بلغة أقرب إلى الحياة اليومية: أولاً جد الميل بين النقطتين. ثم انظر كم تبعد X₃ عن X₁. اضرب تلك المسافة في الميل وأضف الناتج إلى Y₁.

يتضح الأمر أكثر بكثير بمثال.

\[
(2,4)
\]

\[
(8,16)
\]

أولاً الميل:

\[
m=\frac{16-4}{8-2}=\frac{12}{6}=2
\]

أي كلما زادت X بمقدار 1، تزداد Y بمقدار 2. إذا كانت X₃ = 5، فأنت على بُعد 3 وحدات من النقطة X₁ = 2.

\[
Y_3=4+(5-2)\cdot2
\]

\[
Y_3=4+6=10
\]

الناتج: Y₃ = 10.

إذا تخيلته على الرسم فأبسط: ترسم خطاً مستقيماً بالمسطرة بين (2,4) و (8,16). عندما تصل إلى الموضع X = 5، يمر الخط عبر المستوى Y = 10.

وماذا لو كانت القيمة الناقصة هي X؟

أحياناً تعرف قيمة Y لكنك تبحث عن X المناظرة لها. هذا هو نفس المنطق لكنه مطبَّق بالاتجاه المعاكس.

لنستعمل النقطتين نفسيهما:

\[
(2,4)
\]

\[
(8,16)
\]

هذه المرة، لتُعطَ Y₃ = 10. كم تكون X₃؟

الميل ما زال 2. Y ارتفعت من 4 إلى 10:

\[
10-4=6
\]

بما أن الميل 2، يلزم التحرك 3 وحدات في اتجاه X:

\[
\frac{6}{2}=3
\]

قيمة X الابتدائية كانت 2:

\[
X_3=2+3=5
\]

الناتج مرة أخرى X₃ = 5.

هذا بالضبط ما تفعله الحاسبة. إنها تعيد ترتيب الصيغة إلى الجهة المناسبة بدلاً عنك. كل ما تفعله أنت هو أن تترك فارغاً الحقل الذي تبحث عن قيمته.

لكن لا تترك حقلين فارغين معاً. حينها المعلومات المتوفرة لا تكفي. وإذا لم تترك أي حقل فارغ، فأنت لم تحدّد للحاسبة ما الذي تريد أن تجده. حقل فارغ واحد، وخمسة حقول ممتلئة – هذا أنظف استخدام.

وانتبه أيضاً إلى مسألة الصفر. إذا كانت القيمة الفعلية 0، فاكتبها 0 بالضرورة. تركها فارغاً يعني «احسب هذه»، أما كتابة 0 فتعني «هذه القيمة ذاتها صفر». فهما ليسا الشيء نفسه.

وماذا لو كانت قيمة X خارج المجال؟

هنا يبدأ الفرق بين الاستيفاء والاستقراء.

لنفترض X₁ = 2 و X₂ = 8. إذا اخترت X₃ = 5، فإن 5 تقع بين هاتين القيمتين. هذا هو الاستيفاء بالمعنى الحقيقي.

أما إذا اخترت X₃ = 10، فقد خرجت عن المجال. الصيغة لا تزال تُنتج نتيجة، لكن ما قمت به هذه المرة هو أقرب إلى تقدير نحو الخارج. أي أنك انتقلت إلى جانب الاستقراء.

لمَ هذا مهم؟ لأن التغير بين نقطتين قد يكون مستقيماً، لكن لا أحد يضمن أنه سيستمر على المنوال نفسه خارج المجال. يصبح هذا التفريق مهماً خصوصاً في بيانات القياس، وتوقعات الأسعار، وجداول درجات الحرارة، ونتائج التجارب.

باختصار: إن كنت داخل المجال فأنت أكثر اطمئناناً. وإن كنت خارجه ففكّر مرتين.

مثال يومي: تقدير درجة الحرارة

لنقل إن جدول قياس يحوي هاتين القيمتين:

عند الدقيقة 10 درجة الحرارة 18 درجة.

عند الدقيقة 30 درجة الحرارة 26 درجة.

وتريد أنت أن تجد تقريباً درجة الحرارة عند الدقيقة 20. أحب هذا المثال لأنه يوضح فوراً ما يفعله الاستيفاء.

يمكننا أن نكتب النقطتين كالتالي:

\[
(10,18)
\]

\[
(30,26)
\]

قيمة X للنقطة التي نبحث عنها:

\[
X_3=20
\]

أولاً الميل:

\[
m=\frac{26-18}{30-10}=\frac{8}{20}=0.4
\]

معنى هذا: في كل دقيقة واحدة، تزداد درجة الحرارة وسطياً بمقدار 0.4 درجة.

من الدقيقة 10 إلى الدقيقة 20 هنالك 10 دقائق:

\[
20-10=10
\]

الزيادة المتوقعة خلال هذه المدة:

\[
10\cdot0.4=4
\]

درجة حرارة البداية كانت 18 درجة:

\[
Y_3=18+4=22
\]

أي أن درجة الحرارة التقديرية عند الدقيقة 20 هي 22 درجة.

أتعمد هنا استعمال كلمة «تقديرية». القياس الحقيقي قد يطلع 22.1 أو 21.9. نحن فقط افترضنا أن الزيادة بين الدقيقة 10 والدقيقة 30 تسير مثل خط مستقيم.

هل الناتج معقول؟

بعد أن تجري العملية الحسابية، من الجيد القيام بفحص سريع.

إذا كانت X₃ محصورة بين X₁ و X₂، وكانت قيم Y تتزايد، فإن Y₃ الناتجة ينبغي أن تبقى محصورة بين Y₁ و Y₂. في مثال الحرارة، قيمة Y كانت ترتفع من 18 إلى 26. ولأن الدقيقة 20 تقع داخل هذا المجال، كان ينبغي أن يكون الناتج بين 18 و 26. فطلع 22. معقول.

أما لو طلع الناتج فجأة 40، لوجب التوقف والتأمل. ربما اختلطت حقول X و Y. أو ربما وقعت X₃ خارج المجال. أو ربما كُتب أحد الأرقام خطأ. هذا الفحص البسيط يمسك الأخطاء غير الضرورية.

أين يفيد؟

الاستيفاء الخطي أكثر ما يفيد في قراءة القيم بين سطور الجداول. الجداول الهندسية، نتائج التجارب، بيانات الحرارة والضغط، قراءة الرسوم البيانية، التوقعات المالية البسيطة… قد يصادفك في كل ذلك.

وإن كنت طالباً، فالموضوع في الحقيقة مثال جميل لفهم معادلة الخط المستقيم وفكرة الميل. بدلاً من حفظ الصيغة، فكّر فيه كمشاهدة تغير يمشي بين نقطتين.

طبعاً، ليس كل البيانات تسلك سلوكاً خطياً. بعض الأشياء تتغير بانحناءات. في مثل هذه الأحوال، يكون الاستيفاء الخطي تقريباً خشناً. لكن إذا كان المجال صغيراً ولم يكن التغير حاداً جداً، فإنه يعطي تقديراً أولياً جيداً في أغلب الأعمال العملية.

بعض المزالق الصغيرة

ينبغي ألا تكون X₁ و X₂ متساويتين. لأن حساب الميل يصبح مقامه:

\[
X_2-X_1
\]

إذا كان هذا الفرق 0، تصبح القسمة غير معرفة. أي أنك لا تستطيع أن تُجري استيفاءً خطياً قياسياً بنقطتين لهما قيمة X نفسها.

X₁ و Y₁ يجب أن تنتميا إلى النقطة نفسها. وكذلك X₂ و Y₂ تنتميان إلى النقطة الأخرى. إذا كتبت القيم بشكل متبادل، فالعملية الحسابية لا تزال تعطي رقماً، لكن هذا الرقم سيكون واقعاً على المستقيم الخطأ.

النتائج العشرية طبيعية. بل إن الناتج في أغلب البيانات الحقيقية يظهر بأعشار. قد تقوم الحاسبة بتقريب الناتج إلى منزلة عشرية معينة؛ فإن كنت تعمل عملاً شديد الدقة، فينبغي أن تراعي هذا التقريب على حدة.

على كل حال، خلاصة الأمر هي: أدخل النقطتين بصورة صحيحة، واترك فارغاً القيمة الوحيدة التي تبحث عنها، ثم تفقّد ما إذا كان الناتج يقع داخل المجال ويبدو معقولاً. الاستخدام العملي للاستيفاء الخطي يتمحور حول هذا إلى حد كبير.