Rechner für lineare Interpolation
Berechnen Sie den einzigen leer gelassenen Wert in den Feldern X1, Y1, X2, Y2, X3 und Y3.
Rechner für lineare Interpolation
Du hast zwei Datenpunkte, kennst aber den dazwischenliegenden Wert nicht. In einer Tabelle ist zum Beispiel die Temperatur in der 10. Minute und in der 30. Minute angegeben, der Wert für die 20. Minute fehlt jedoch. Oder in einem Diagramm sind zwei Messpunkte bekannt und du möchtest den Wert dazwischen näherungsweise ablesen.
Genau dafür wird die lineare Interpolation verwendet. Du verbindest zwei Punkte mit einer geraden Linie und prüfst anschließend, an welcher Stelle auf dieser Linie der gesuchte Wert liegt. Das Prinzip ist so einfach. Natürlich gibt es eine Formel, aber sie ist weniger kompliziert, als sie zunächst wirkt.
Dieser Rechner enthält die Felder X₁, Y₁, X₂, Y₂, X₃ und Y₃. Einen dieser sechs Werte lässt du leer und die übrigen fünf gibst du ein. Das Werkzeug berechnet den leer gelassenen Wert.
Am häufigsten wird folgender Fall verwendet: Zwei Punkte sind bekannt, der X-Wert eines dritten Punktes wird eingegeben und der zugehörige Y-Wert wird bestimmt.
Nehmen wir an, wir haben die folgenden beiden Punkte:
\[
(2,4)
\]
\[
(8,16)
\]
Welchen Wert hat Y, wenn X gleich 5 ist? Selbst bei einer groben Schätzung sollte das Ergebnis irgendwo zwischen 4 und 16 liegen. Der Rechner wandelt diese Schätzung in einen konkreten Zahlenwert um.
Im Kern geht es nur um die Steigung
Die Grundidee hinter der linearen Interpolation ist die Steigung. Die Steigung zwischen zwei Punkten zeigt, wie stark sich Y verändert, wenn sich X ändert.
\[
m=\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}
\]
Dabei ist \(m\) die Steigung der Geraden. Sie gibt also an, um wie viele Einheiten sich Y im Durchschnitt verändert, wenn X um eine Einheit zunimmt.
Wenn der gesuchte Wert Y₃ ist, lautet die Formel:
\[
Y_3=Y_1+(X_3-X_1)\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}
\]
In alltäglicher Sprache lässt sich die Formel so lesen: Bestimme zuerst die Steigung zwischen den beiden Punkten. Ermittle anschließend, wie weit X₃ von X₁ entfernt ist. Multipliziere diese Entfernung mit der Steigung und addiere das Ergebnis zu Y₁.
An einem Beispiel wird es deutlich verständlicher.
\[
(2,4)
\]
\[
(8,16)
\]
Zuerst die Steigung:
\[
m=\frac{16-4}{8-2}=\frac{12}{6}=2
\]
Das bedeutet: Wenn X jeweils um 1 zunimmt, steigt Y um 2. Wenn X₃ = 5 ist, liegst du 3 Einheiten vom Punkt X₁ = 2 entfernt.
\[
Y_3=4+(5-2)\cdot2
\]
\[
Y_3=4+6=10
\]
Ergebnis: Y₃ = 10.
Grafisch betrachtet ist es noch einfacher: Du ziehst mit einem Lineal eine Linie zwischen (2,4) und (8,16). Bei X = 5 verläuft die Linie durch die Höhe Y = 10.
Was ist, wenn X der fehlende Wert ist?
Manchmal kennst du den Y-Wert, möchtest aber herausfinden, welchem X-Wert er entspricht. Dabei wird dasselbe Prinzip lediglich in umgekehrter Richtung angewendet.
Verwenden wir erneut dieselben beiden Punkte:
\[
(2,4)
\]
\[
(8,16)
\]
Diesmal sei Y₃ = 10 gegeben. Wie groß ist X₃?
Die Steigung beträgt weiterhin 2. Y ist von 4 auf 10 gestiegen:
\[
10-4=6
\]
Da die Steigung 2 beträgt, muss man sich in X-Richtung um 3 Einheiten bewegen:
\[
\frac{6}{2}=3
\]
Der anfängliche X-Wert war 2:
\[
X_3=2+3=5
\]
Das Ergebnis lautet wieder X₃ = 5.
Genau das erledigt der Rechner. Er stellt die Formel für dich nach der passenden Variablen um. Du lässt einfach den Wert leer, den du bestimmen möchtest.
Lass jedoch nicht zwei Felder gleichzeitig leer. In diesem Fall reichen die vorhandenen Informationen nicht aus. Wenn kein Feld leer bleibt, weiß der Rechner wiederum nicht, welchen Wert er bestimmen soll. Ein leeres Feld und fünf ausgefüllte Felder sind die eindeutigste Verwendung.
Achte außerdem auf den Wert null. Wenn der tatsächliche Wert 0 ist, musst du unbedingt 0 eingeben. Ein leeres Feld bedeutet „diesen Wert berechnen“, während die Eingabe 0 bedeutet, dass der Wert selbst null ist. Das ist nicht dasselbe.
Was ist, wenn der X-Wert außerhalb des Intervalls liegt?
An dieser Stelle beginnt die Unterscheidung zwischen Interpolation und Extrapolation.
Angenommen, X₁ = 2 und X₂ = 8. Wenn du X₃ = 5 wählst, liegt 5 zwischen diesen beiden Werten. Das ist eine Interpolation im eigentlichen Sinn.
Wählst du dagegen X₃ = 10, befindest du dich außerhalb des Intervalls. Die Formel liefert zwar weiterhin ein Ergebnis, doch nun handelt es sich eher um eine Schätzung außerhalb des bekannten Bereichs. Damit wechselst du zur Extrapolation.
Warum ist das wichtig? Zwischen zwei Punkten kann die Veränderung geradlinig verlaufen. Es gibt jedoch keine Garantie dafür, dass sie außerhalb dieses Bereichs auf dieselbe Weise weitergeht. Besonders bei Messdaten, Preisprognosen, Temperaturtabellen oder Versuchsergebnissen ist diese Unterscheidung wichtig.
Kurz gesagt: Innerhalb des Intervalls kannst du dem Ergebnis eher vertrauen. Außerhalb solltest du es besonders kritisch prüfen.
Ein Beispiel aus dem Alltag: Temperaturschätzung
Angenommen, eine Messtabelle enthält die folgenden beiden Werte:
In der 10. Minute beträgt die Temperatur 18 Grad.
In der 30. Minute beträgt die Temperatur 26 Grad.
Du möchtest nun die Temperatur in der 20. Minute näherungsweise bestimmen. Dieses Beispiel zeigt besonders anschaulich, was die Interpolation macht.
Die Punkte lassen sich so schreiben:
\[
(10,18)
\]
\[
(30,26)
\]
Der X-Wert des gesuchten Punktes lautet:
\[
X_3=20
\]
Zuerst die Steigung:
\[
m=\frac{26-18}{30-10}=\frac{8}{20}=0.4
\]
Das bedeutet: Die Temperatur steigt im Durchschnitt um 0,4 Grad pro Minute.
Zwischen der 10. und der 20. Minute liegen 10 Minuten:
\[
20-10=10
\]
Der erwartete Anstieg in diesem Zeitraum beträgt:
\[
10\cdot0.4=4
\]
Die Ausgangstemperatur betrug 18 Grad:
\[
Y_3=18+4=22
\]
Die geschätzte Temperatur in der 20. Minute beträgt somit 22 Grad.
Das Wort „geschätzt“ ist hier bewusst gewählt. Der tatsächlich gemessene Wert könnte auch 22,1 oder 21,9 betragen. Wir haben lediglich angenommen, dass der Anstieg zwischen der 10. und der 30. Minute wie eine gerade Linie verläuft.
Ist das Ergebnis plausibel?
Nach der Berechnung lohnt sich eine kurze Plausibilitätsprüfung.
Wenn X₃ zwischen X₁ und X₂ liegt und die Y-Werte ansteigen, sollte auch der berechnete Wert Y₃ zwischen Y₁ und Y₂ liegen. Im Temperaturbeispiel stieg Y von 18 auf 26. Da die 20. Minute innerhalb dieses Intervalls liegt, musste das Ergebnis zwischen 18 und 26 liegen. Es ergab sich 22. Das ist plausibel.
Wäre stattdessen plötzlich 40 herausgekommen, sollte man die Eingaben überprüfen. Möglicherweise wurden die X- und Y-Felder vertauscht, X₃ liegt außerhalb des Intervalls oder eine der Zahlen wurde falsch eingegeben. Mit dieser einfachen Kontrolle lassen sich unnötige Fehler erkennen.
Wo wird die lineare Interpolation eingesetzt?
Die lineare Interpolation wird vor allem verwendet, um Werte zwischen Einträgen in Tabellen zu bestimmen. Sie kann in technischen Tabellen, Versuchsergebnissen, Temperatur-Druck-Daten, Diagrammauswertungen und einfachen Finanzprognosen vorkommen.
Auch für Lernende ist das Thema ein gutes Beispiel, um die Geradengleichung und das Konzept der Steigung zu verstehen. Anstatt nur eine Formel auswendig zu lernen, kannst du es dir als eine Veränderung vorstellen, die sich zwischen zwei Punkten fortbewegt.
Natürlich verhalten sich nicht alle Daten linear. Manche Größen verändern sich entlang einer Kurve. In solchen Fällen ist die lineare Interpolation nur eine grobe Näherung. Wenn das Intervall jedoch klein und die Veränderung nicht zu stark ist, liefert sie für viele praktische Anwendungen eine gute erste Schätzung.
Einige kleine Fallstricke
X₁ und X₂ dürfen nicht gleich sein. Denn bei der Berechnung der Steigung lautet der Nenner:
\[
X_2-X_1
\]
Wenn diese Differenz 0 ist, ist die Division nicht definiert. Mit zwei Punkten, die denselben X-Wert besitzen, kann daher keine gewöhnliche lineare Interpolation durchgeführt werden.
X₁ und Y₁ müssen zum selben Punkt gehören. X₂ und Y₂ müssen entsprechend zum anderen Punkt gehören. Wenn du die Werte über Kreuz eingibst, liefert die Berechnung zwar weiterhin eine Zahl, diese liegt jedoch auf der falschen Geraden.
Dezimalergebnisse sind ebenfalls normal. Bei realen Daten ist das Ergebnis sogar häufig eine Dezimalzahl. Der Rechner kann das Ergebnis auf eine bestimmte Anzahl von Stellen runden. Bei besonders präzisen Berechnungen solltest du diese Rundung zusätzlich berücksichtigen.
Zusammengefasst: Gib die beiden Punkte korrekt ein, lass genau den gesuchten Wert leer und prüfe anschließend, ob das Ergebnis innerhalb des Intervalls plausibel erscheint. Darauf läuft die praktische Anwendung der linearen Interpolation im Wesentlichen hinaus.