Calculadora de interpolación lineal
Calcula el único valor dejado en blanco entre los campos X1, Y1, X2, Y2, X3 y Y3.
Calculadora de Interpolación Lineal
Tienes dos puntos de datos y no conoces el valor intermedio. Por ejemplo, en una tabla aparece la temperatura en el minuto 10, y también la temperatura en el minuto 30, pero no hay dato del minuto 20. O en una gráfica tienes dos puntos de medición definidos y quieres leer aproximadamente el valor que se encuentra entre ellos.
La interpolación lineal se utiliza exactamente para esto. Unes los dos puntos con una línea recta y luego observas dónde cae sobre esa línea el valor que buscas. La lógica es así de simple. Por supuesto que hay una fórmula, pero no hay que darle más importancia.
En esta calculadora encontrarás los campos X₁, Y₁, X₂, Y₂, X₃, Y₃. Dejas uno de estos seis valores en blanco e introduces los otros cinco. La herramienta calcula el valor que dejaste vacío.
Lo más común es lo siguiente: se conocen dos puntos, se introduce el valor X del tercer punto y se halla su valor Y.
Supongamos que tenemos estos dos puntos:
\[
(2,4)
\]
\[
(8,16)
\]
Ahora, cuando el valor de X es 5, ¿cuánto vale Y? Incluso a simple vista, el resultado debería estar entre 4 y 16. La calculadora convierte esa estimación en un número.
La lógica es en realidad cuestión de pendiente
La idea principal detrás de la interpolación lineal es la pendiente. La pendiente entre dos puntos indica cuánto cambia Y a medida que X cambia.
\[
m=\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}
\]
Aquí \(m\) es la pendiente de la recta. Es decir, expresa cuántas unidades cambia en promedio Y cuando X avanza una unidad.
Si el valor que buscas es Y₃, la fórmula se escribe así:
\[
Y_3=Y_1+(X_3-X_1)\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}
\]
Leamos la fórmula en un lenguaje más cotidiano: primero encuentra la pendiente entre los dos puntos. Luego mira qué tan lejos está X₃ de X₁. Multiplica esa distancia por la pendiente y súmala sobre Y₁.
Con un ejemplo queda mucho más claro.
\[
(2,4)
\]
\[
(8,16)
\]
Primero la pendiente:
\[
m=\frac{16-4}{8-2}=\frac{12}{6}=2
\]
Es decir, cada vez que X aumenta en 1, Y aumenta en 2. Si X₃ = 5, estás 3 unidades por delante del punto X₁ = 2.
\[
Y_3=4+(5-2)\cdot2
\]
\[
Y_3=4+6=10
\]
Resultado: Y₃ = 10.
Si lo imaginas en una gráfica es aún más sencillo: trazas con una regla una línea entre (2,4) y (8,16). Cuando llegas a la altura X = 5, la línea pasa por el nivel Y = 10.
¿Y si el valor faltante es X?
A veces conoces el valor de Y pero buscas a qué X corresponde ese valor. Esto también es aplicar la misma lógica en sentido inverso.
Usemos de nuevo los mismos dos puntos:
\[
(2,4)
\]
\[
(8,16)
\]
Esta vez se da Y₃ = 10. ¿Cuánto vale X₃?
La pendiente sigue siendo 2. Y ha pasado de 4 a 10:
\[
10-4=6
\]
Dado que la pendiente es 2, es necesario avanzar 3 unidades en la dirección X:
\[
\frac{6}{2}=3
\]
El valor inicial de X era 2:
\[
X_3=2+3=5
\]
Resultado nuevamente X₃ = 5.
Esto es justo lo que hace la calculadora. Reordena la fórmula al lado adecuado por ti. Tú solo dejas vacío el valor que buscas.
Pero no dejes dos campos vacíos a la vez. Entonces la información disponible no será suficiente. Si no queda ningún campo vacío, no le habrás dicho a la calculadora qué debe encontrar. Un campo vacío, cinco campos llenos. Ese es el uso más limpio.
Y presta atención al tema del cero. Si tu valor real es 0, debes escribirlo como 0. Dejarlo vacío significa "calcula esto"; escribir 0 significa "este valor en sí mismo es cero". No son lo mismo.
¿Y si el valor de X está fuera del intervalo?
Aquí comienza la diferencia entre interpolación y extrapolación.
Supongamos X₁ = 2 y X₂ = 8. Si eliges X₃ = 5, 5 está entre esos dos valores. Esto es interpolación en el sentido estricto.
Pero si eliges X₃ = 10, ya has salido del intervalo. La fórmula todavía produce un resultado; sin embargo, esta vez lo que haces es más bien una estimación hacia afuera. Es decir, pasas al lado de la extrapolación.
¿Por qué es importante? Porque el cambio entre dos puntos puede ser recto, pero nadie garantiza que fuera vaya a continuar de la misma manera. Esta distinción cobra importancia sobre todo en datos de medición, pronósticos de precios, tablas de temperatura o resultados experimentales.
En resumen: si estás dentro, puedes estar más tranquilo. Si estás fuera, piénsalo dos veces.
Un ejemplo cotidiano: estimación de temperatura
Digamos que en una tabla de medición existen estos dos valores:
En el minuto 10 la temperatura es de 18 grados.
En el minuto 30 la temperatura es de 26 grados.
Y tú quieres encontrar aproximadamente la temperatura en el minuto 20. Me gusta este ejemplo porque muestra enseguida lo que hace la interpolación.
Podemos escribir los puntos así:
\[
(10,18)
\]
\[
(30,26)
\]
El valor X del punto que buscamos:
\[
X_3=20
\]
Primero la pendiente:
\[
m=\frac{26-18}{30-10}=\frac{8}{20}=0.4
\]
Esto significa que cada 1 minuto la temperatura aumenta en promedio 0.4 grados.
Del minuto 10 al minuto 20 hay 10 minutos:
\[
20-10=10
\]
El aumento esperado en este lapso:
\[
10\cdot0.4=4
\]
La temperatura inicial era de 18 grados:
\[
Y_3=18+4=22
\]
Así que la temperatura estimada en el minuto 20 es de 22 grados.
Aquí uso a propósito la palabra "estimada". La medición real podría resultar 22.1 o 21.9. Nosotros solo supusimos que el aumento entre el minuto 10 y el 30 avanza como una línea recta.
¿Es razonable el resultado?
Después de hacer el cálculo, conviene una pequeña comprobación.
Si X₃ está entre X₁ y X₂ y los valores de Y están aumentando, el Y₃ hallado debe quedar entre Y₁ y Y₂. En el ejemplo de la temperatura, Y pasaba de 18 a 26. Como el minuto 20 está dentro de ese intervalo, el resultado debía estar entre 18 y 26. Salió 22. Es lógico.
Pero si el resultado de repente hubiera sido 40, habría que detenerse a revisar. Podrían haberse mezclado los campos X e Y. X₃ podría haber quedado fuera del intervalo. O tal vez uno de los números se escribió mal. Esta pequeña comprobación atrapa errores innecesarios.
¿Dónde es útil?
La interpolación lineal es más útil para leer valores entre las líneas de una tabla. Tablas de ingeniería, resultados experimentales, datos de temperatura y presión, lectura de gráficas, pronósticos financieros simples… Puede aparecer en todos ellos.
Si eres estudiante, el tema es en realidad un bonito ejemplo para entender la ecuación de la recta y la idea de pendiente. Más que memorizar la fórmula, piensa en ello como observar un cambio que camina entre dos puntos.
Por supuesto, no todos los datos se comportan de forma lineal. Algunas cosas cambian siguiendo curvas. En esos casos, la interpolación lineal se convierte en una aproximación burda. Pero si el intervalo es pequeño y el cambio no es muy brusco, ofrece una buena primera estimación en la mayoría de los trabajos prácticos.
Un par de pequeñas trampas
X₁ y X₂ no deben ser iguales. Porque en el cálculo de la pendiente el denominador es:
\[
X_2-X_1
\]
Si esta diferencia es 0, la división no está definida. Es decir, no puedes hacer interpolación lineal estándar con dos puntos que tengan el mismo valor de X.
X₁ e Y₁ deben pertenecer al mismo punto. X₂ e Y₂ al otro punto. Si escribes los valores de forma cruzada, el cálculo igualmente devuelve un número, pero ese número estará sobre la recta equivocada.
Los resultados con decimales también son normales. Es más, en la mayoría de los datos reales el resultado sale con decimales. La calculadora puede redondear el resultado a un cierto número de dígitos; si estás haciendo un trabajo muy preciso, conviene tener en cuenta ese redondeo aparte.
En fin, la esencia del asunto es esta: introduce correctamente los dos puntos, deja vacío el único valor que buscas y comprueba si el resultado que sale se mantiene razonable dentro del intervalo. El uso práctico de la interpolación lineal se reduce en gran medida a eso.