Calcolatore di interpolazione lineare
Calcola l’unico valore lasciato vuoto tra i campi X1, Y1, X2, Y2, X3 e Y3.
Calcolatore di interpolazione lineare
Hai a disposizione due punti dati, ma non conosci il valore compreso tra di essi. Per esempio, una tabella riporta la temperatura al 10° minuto e al 30° minuto, ma manca il valore del 20° minuto. Oppure, in un grafico sono noti due punti di misurazione e vuoi stimare il valore intermedio.
L’interpolazione lineare viene utilizzata proprio per questo. Si collegano i due punti con una linea retta e si osserva dove si trova, su quella linea, il valore cercato. Il principio è così semplice. Naturalmente esiste una formula, ma non è necessario considerarla complicata.
Questo calcolatore contiene i campi X₁, Y₁, X₂, Y₂, X₃ e Y₃. Lascia vuoto uno di questi sei valori e inserisci gli altri cinque. Lo strumento calcolerà il valore lasciato vuoto.
Il caso più comune è il seguente: sono noti due punti, si inserisce il valore X del terzo punto e si determina il corrispondente valore Y.
Supponiamo di avere i seguenti due punti:
\[
(2,4)
\]
\[
(8,16)
\]
Qual è il valore di Y quando X è uguale a 5? Anche con una stima a occhio, il risultato dovrebbe trovarsi tra 4 e 16. Il calcolatore trasforma questa stima in un valore numerico.
In realtà tutto dipende dalla pendenza
L’idea principale alla base dell’interpolazione lineare è la pendenza. La pendenza tra due punti indica di quanto varia Y al variare di X.
\[
m=\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}
\]
Qui \(m\) rappresenta la pendenza della retta. In altre parole, indica di quante unità varia mediamente Y quando X aumenta di un’unità.
Se il valore cercato è Y₃, la formula si scrive così:
\[
Y_3=Y_1+(X_3-X_1)\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}
\]
Leggiamo la formula in modo più semplice: prima calcola la pendenza tra i due punti. Poi determina quanto X₃ dista da X₁. Moltiplica questa distanza per la pendenza e aggiungi il risultato a Y₁.
Con un esempio tutto diventa molto più chiaro.
\[
(2,4)
\]
\[
(8,16)
\]
Calcoliamo prima la pendenza:
\[
m=\frac{16-4}{8-2}=\frac{12}{6}=2
\]
Questo significa che ogni volta che X aumenta di 1, Y aumenta di 2. Se X₃ = 5, ti trovi 3 unità oltre il punto X₁ = 2.
\[
Y_3=4+(5-2)\cdot2
\]
\[
Y_3=4+6=10
\]
Risultato: Y₃ = 10.
Se lo immagini su un grafico, è ancora più semplice: traccia con un righello una linea tra (2,4) e (8,16). In corrispondenza di X = 5, la linea passa per il livello Y = 10.
E se il valore mancante fosse X?
A volte conosci il valore Y, ma vuoi sapere a quale valore X corrisponde. Si tratta semplicemente di applicare lo stesso principio nella direzione opposta.
Utilizziamo di nuovo gli stessi due punti:
\[
(2,4)
\]
\[
(8,16)
\]
Questa volta supponiamo che Y₃ = 10. Quanto vale X₃?
La pendenza è ancora 2. Y è passato da 4 a 10:
\[
10-4=6
\]
Poiché la pendenza è 2, bisogna avanzare di 3 unità nella direzione X:
\[
\frac{6}{2}=3
\]
Il valore iniziale di X era 2:
\[
X_3=2+3=5
\]
Il risultato è ancora X₃ = 5.
È proprio questo che fa il calcolatore. Riordina la formula per isolare la variabile corretta al posto tuo. Devi soltanto lasciare vuoto il valore che vuoi determinare.
Non lasciare però due campi vuoti contemporaneamente. In quel caso, le informazioni disponibili non sarebbero sufficienti. Se invece non lasci vuoto alcun campo, il calcolatore non saprà quale valore determinare. Un campo vuoto e cinque campi compilati rappresentano il modo più chiaro di utilizzare lo strumento.
Fai attenzione anche allo zero. Se il valore reale è 0, devi inserire esplicitamente 0. Lasciare il campo vuoto significa «calcola questo valore», mentre inserire 0 significa «questo valore è zero». Non sono la stessa cosa.
E se il valore X fosse fuori dall’intervallo?
È qui che entra in gioco la distinzione tra interpolazione ed estrapolazione.
Supponiamo che X₁ = 2 e X₂ = 8. Se scegli X₃ = 5, il valore 5 si trova tra questi due valori. Questa è un’interpolazione nel vero senso del termine.
Se invece scegli X₃ = 10, ti trovi al di fuori dell’intervallo. La formula produce comunque un risultato, ma questa volta stai effettuando una stima al di fuori dell’intervallo noto. In altre parole, entri nel campo dell’estrapolazione.
Perché è importante? Perché la variazione tra due punti può procedere in modo lineare, ma nessuno garantisce che continui allo stesso modo anche al di fuori dell’intervallo. Questa distinzione diventa particolarmente importante nei dati di misurazione, nelle previsioni dei prezzi, nelle tabelle delle temperature o nei risultati sperimentali.
In breve: se sei all’interno dell’intervallo, puoi avere maggiore fiducia nel risultato. Se sei all’esterno, devi valutarlo con maggiore cautela.
Un esempio quotidiano: stima della temperatura
Supponiamo che una tabella di misurazione contenga i seguenti due valori:
Al 10° minuto, la temperatura è di 18 gradi.
Al 30° minuto, la temperatura è di 26 gradi.
Vuoi stimare la temperatura al 20° minuto. Questo esempio mostra immediatamente cosa fa l’interpolazione.
Possiamo scrivere i punti nel modo seguente:
\[
(10,18)
\]
\[
(30,26)
\]
Il valore X del punto cercato è:
\[
X_3=20
\]
Calcoliamo prima la pendenza:
\[
m=\frac{26-18}{30-10}=\frac{8}{20}=0.4
\]
Ciò significa che la temperatura aumenta mediamente di 0,4 gradi ogni minuto.
Tra il 10° e il 20° minuto trascorrono 10 minuti:
\[
20-10=10
\]
L’aumento previsto in questo intervallo è:
\[
10\cdot0.4=4
\]
La temperatura iniziale era di 18 gradi:
\[
Y_3=18+4=22
\]
La temperatura stimata al 20° minuto è quindi di 22 gradi.
La parola «stimata» è importante. La misurazione reale potrebbe risultare pari a 22,1 oppure a 21,9. Abbiamo semplicemente ipotizzato che l’aumento tra il 10° e il 30° minuto procedesse come una linea retta.
Il risultato è plausibile?
Dopo il calcolo, è utile eseguire un rapido controllo.
Se X₃ si trova tra X₁ e X₂ e i valori Y sono in aumento, anche il valore Y₃ ottenuto dovrebbe trovarsi tra Y₁ e Y₂. Nell’esempio della temperatura, Y aumentava da 18 a 26. Poiché il 20° minuto si trova all’interno di questo intervallo, il risultato doveva essere compreso tra 18 e 26. Abbiamo ottenuto 22, quindi il risultato è plausibile.
Se invece il risultato fosse stato improvvisamente 40, sarebbe stato necessario fermarsi e controllare i dati. I campi X e Y potrebbero essere stati invertiti, X₃ potrebbe trovarsi fuori dall’intervallo oppure uno dei numeri potrebbe essere stato inserito in modo errato. Questo semplice controllo consente di individuare molti errori evitabili.
Dove si utilizza?
L’interpolazione lineare viene utilizzata soprattutto per determinare valori compresi tra le voci di una tabella. Può essere impiegata nelle tabelle tecniche, nei risultati sperimentali, nei dati di temperatura e pressione, nella lettura dei grafici e nelle semplici previsioni finanziarie.
Per gli studenti, questo argomento rappresenta anche un buon esempio per comprendere l’equazione della retta e il concetto di pendenza. Anziché limitarti a memorizzare una formula, immagina una variazione che procede tra due punti.
Naturalmente, non tutti i dati si comportano in modo lineare. Alcune grandezze cambiano seguendo una curva. In questi casi, l’interpolazione lineare costituisce soltanto un’approssimazione grossolana. Tuttavia, se l’intervallo è ridotto e la variazione non è troppo brusca, fornisce una buona prima stima in molte applicazioni pratiche.
Alcune piccole insidie
X₁ e X₂ non devono essere uguali. Infatti, il denominatore utilizzato nel calcolo della pendenza è:
\[
X_2-X_1
\]
Se questa differenza è pari a 0, la divisione non è definita. Non è quindi possibile eseguire una normale interpolazione lineare con due punti aventi lo stesso valore X.
X₁ e Y₁ devono appartenere allo stesso punto. Allo stesso modo, X₂ e Y₂ devono appartenere all’altro punto. Se inserisci i valori in modo incrociato, il calcolo produrrà comunque un numero, ma quel numero si troverà sulla retta sbagliata.
Anche i risultati decimali sono del tutto normali. Nei dati reali, infatti, il risultato è spesso un numero decimale. Il calcolatore può arrotondare il risultato a un determinato numero di cifre. Se stai eseguendo un calcolo che richiede un’elevata precisione, devi tenere conto anche di questo arrotondamento.
In sintesi: inserisci correttamente i due punti, lascia vuoto soltanto il valore che vuoi trovare e verifica che il risultato sia plausibile all’interno dell’intervallo. L’utilizzo pratico dell’interpolazione lineare consiste essenzialmente in questo.