रैखिक अंतर्वेशन कैलकुलेटर

रैखिक अंतर्वेशन कैलकुलेटर

आपके पास दो डेटा बिंदु हैं, लेकिन बीच का मान नहीं पता। मसलन, एक तालिका में 10वें मिनट का तापमान लिखा है, 30वें मिनट का भी; लेकिन 20वें मिनट का नहीं। या किसी ग्राफ में दो माप बिंदु दिए हैं और आप बीच का मान करीब-करीब पढ़ना चाहते हैं।

रैखिक अंतर्वेशन इसी काम के लिए है। आप दोनों बिंदुओं को एक सीधी रेखा से जोड़ते हैं, फिर देखते हैं कि आप जिस मान की तलाश में हैं, वह उस रेखा पर कहाँ पड़ता है। तर्क इतना सादा है। सूत्र भी है, लेकिन उससे घबराने की ज़रूरत नहीं।

इस कैलकुलेटर में X₁, Y₁, X₂, Y₂, X₃, Y₃ फ़ील्ड हैं। इन छह मानों में से एक को खाली छोड़ दीजिए, बाक़ी पाँच भर दीजिए। उपकरण खाली छोड़े गए मान की गणना कर देगा।

अमूमन सबसे ज़्यादा यह होता है: दो बिंदु मालूम हैं, तीसरे बिंदु का X मान डाला जाता है और Y मान निकाला जाता है।

मान लीजिए हमारे पास ये दो बिंदु हैं:

\[
(2,4)
\]

\[
(8,16)
\]

अब जब X का मान 5 हो, तो Y कितना होगा? अंदाज़ से भी देखें तो नतीजा 4 और 16 के बीच कहीं होना चाहिए। कैलकुलेटर इस अंदाज़े को संख्या में बदलता है।

असल में सारा तर्क ढलान का है

रैखिक अंतर्वेशन के पीछे मुख्य विचार ढलान (slope) है। दो बिंदुओं के बीच की ढलान बताती है कि X के बदलने पर Y कितना बदलता है।

\[
m=\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}
\]

यहाँ \(m\) रेखा की ढलान है। यानी जब X एक इकाई बढ़ता है, तो Y औसतन कितनी इकाई बदलता है, यह बताता है।

यदि आप जिस मान की तलाश में हैं वह Y₃ है, तो सूत्र ऐसे लिखा जाता है:

\[
Y_3=Y_1+(X_3-X_1)\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}
\]

सूत्र को ज़्यादा आम बोलचाल में पढ़ें: पहले दो बिंदुओं के बीच की ढलान निकालिए। फिर देखिए कि X₃, X₁ से कितनी दूर है। उस दूरी को ढलान से गुणा करके Y₁ के ऊपर जोड़ दीजिए।

उदाहरण से बहुत साफ़ हो जाता है।

\[
(2,4)
\]

\[
(8,16)
\]

पहले ढलान:

\[
m=\frac{16-4}{8-2}=\frac{12}{6}=2
\]

मतलब जब-जब X 1 बढ़ता है, Y 2 बढ़ता है। X₃ = 5 है, तो आप X₁ = 2 बिंदु से 3 इकाई आगे हैं।

\[
Y_3=4+(5-2)\cdot2
\]

\[
Y_3=4+6=10
\]

नतीजा: Y₃ = 10।

ग्राफ में सोचें तो और भी आसान: (2,4) और (8,16) के बीच पैमाने से एक रेखा खींचते हैं। X = 5 की सीध में आने पर रेखा Y = 10 के स्तर से गुज़रती है।

अगर गायब मान X हो?

कभी-कभी Y का मान तो पता होता है, लेकिन आप ढूँढ रहे हैं कि यह मान किस X से मेल खाता है। यह भी वही तर्क है, बस उल्टी दिशा में लागू होता है।

वही दो बिंदु फिर इस्तेमाल करते हैं:

\[
(2,4)
\]

\[
(8,16)
\]

इस बार Y₃ = 10 दिया गया है। X₃ कितना होगा?

ढलान फिर 2 है। Y, 4 से 10 पर पहुँच गया:

\[
10-4=6
\]

ढलान 2 है, तो X दिशा में 3 इकाई बढ़ना पड़ेगा:

\[
\frac{6}{2}=3
\]

X का शुरुआती मान 2 था:

\[
X_3=2+3=5
\]

नतीजा फिर X₃ = 5।

कैलकुलेटर यही करता है। सूत्र को आपकी तरफ़ से उपयुक्त पक्ष में पलट देता है। आपको बस जिस मान की तलाश है उसे खाली छोड़ना है।

लेकिन एक साथ दो फ़ील्ड खाली मत छोड़िए। तब मौजूद जानकारी नाकाफ़ी होगी। अगर कोई भी फ़ील्ड खाली न रहे, तो आपने कैलकुलेटर को बताया ही नहीं कि क्या निकालना है। एक खाली फ़ील्ड, पाँच भरी फ़ील्ड – यह सबसे साफ़ इस्तेमाल है।

और शून्य के मामले में सावधान रहिए। अगर असली मान 0 है, तो उसे ज़रूर 0 लिखें। खाली छोड़ने का मतलब है “यह हिसाब करो”; 0 लिखने का मतलब है “यह मान खुद शून्य है”। दोनों एक नहीं हैं।

अगर X का मान दायरे से बाहर हो?

यहाँ अंतर्वेशन (interpolation) और बहिर्वेशन (extrapolation) का फ़र्क शुरू होता है।

X₁ = 2 और X₂ = 8 मान लीजिए। X₃ = 5 चुनते हैं, तो 5 इन दोनों मानों के बीच में है। यह सच्चे अर्थों में अंतर्वेशन है।

लेकिन यदि X₃ = 10 चुन लिया, तो अब आप दायरे से बाहर निकल आए। सूत्र फिर भी नतीजा देता है; मगर इस बार आपने जो किया वह ज़्यादातर बाहर की ओर अंदाज़ा है। यानी आप बहिर्वेशन की तरफ़ चले गए।

यह क्यों अहम है? क्योंकि दो बिंदुओं के बीच बदलाव भले सीधा चल रहा हो, लेकिन बाहर भी उसी तरह जारी रहेगा, इसकी कोई गारंटी नहीं। ख़ासकर माप के आँकड़ों, मूल्य पूर्वानुमानों, तापमान तालिकाओं या प्रयोगों के नतीजों में यह फ़र्क अहम हो जाता है।

संक्षेप में: अगर दायरे के भीतर हैं तो ज़्यादा संतुष्ट रहिए। बाहर हैं तो दो बार सोचिए।

एक रोज़मर्रा का उदाहरण: तापमान का अनुमान

मान लीजिए एक माप तालिका में ये दो मान हैं:

10वें मिनट पर तापमान 18 डिग्री।

30वें मिनट पर तापमान 26 डिग्री।

और आप 20वें मिनट का तापमान करीब-करीब जानना चाहते हैं। मुझे यह उदाहरण पसंद है क्योंकि यह फ़ौरन दिखाता है कि अंतर्वेशन क्या करता है।

बिंदुओं को यूँ लिख सकते हैं:

\[
(10,18)
\]

\[
(30,26)
\]

हमें जिस बिंदु की तलाश है, उसका X मान:

\[
X_3=20
\]

पहले ढलान:

\[
m=\frac{26-18}{30-10}=\frac{8}{20}=0.4
\]

इसका मतलब: हर 1 मिनट में तापमान औसतन 0.4 डिग्री बढ़ रहा है।

10वें मिनट से 20वें मिनट तक 10 मिनट का फ़ासला है:

\[
20-10=10
\]

इस दौरान अनुमानित बढ़त:

\[
10\cdot0.4=4
\]

शुरुआती तापमान 18 डिग्री था:

\[
Y_3=18+4=22
\]

यानी 20वें मिनट पर अनुमानित तापमान 22 डिग्री होगा।

मैं यहाँ जान-बूझकर “अनुमानित” शब्द इस्तेमाल कर रहा हूँ। असली माप 22.1 भी आ सकता है, 21.9 भी। हमने सिर्फ़ यह मान लिया कि 10वें और 30वें मिनट के बीच बढ़त एक सीधी रेखा की तरह चली।

क्या नतीजा माकूल लग रहा है?

हिसाब लगाने के बाद एक छोटी-सी जाँच अच्छी रहती है।

यदि X₃, X₁ और X₂ के बीच है और Y मान बढ़ रहे हैं, तो निकला हुआ Y₃ भी Y₁ और Y₂ के बीच रहना चाहिए। तापमान के उदाहरण में Y, 18 से 26 तक बढ़ रहा था। 20वाँ मिनट इसी दायरे में था, इसलिए नतीजा 18 और 26 के बीच होना चाहिए था। 22 आया। माकूल लगा।

लेकिन अगर अचानक नतीजा 40 आता, तो वहीं रुककर देखना पड़ता। X और Y फ़ील्ड आपस में गड्ड-मड्ड हो गए होंगे। X₃ दायरे के बाहर रह गया होगा। या फिर कोई संख्या ग़लत लिखी गई होगी। यह छोटी-सी जाँच फ़ालतू ग़लतियाँ पकड़ लेती है।

कहाँ काम आता है?

रैखिक अंतर्वेशन सबसे ज़्यादा तालिकाओं के बीच मान पढ़ने में काम आता है। इंजीनियरी की तालिकाएँ, प्रयोगों के नतीजे, तापमान-दबाव के आँकड़े, ग्राफ़ पढ़ना, साधारण वित्तीय अनुमान… सबमें आपको मिल सकता है।

अगर आप विद्यार्थी हैं, तो यह विषय दरअसल रेखा के समीकरण और ढलान के विचार को समझने के लिए एक बढ़िया उदाहरण है। सूत्र रटने से ज़्यादा, इसे ऐसे सोचिए जैसे दो बिंदुओं के बीच एक बदलाव चल रहा है।

बेशक हर डेटा रैखिक बर्ताव नहीं करता। कुछ चीज़ें टेढ़-मेढ़ बदलती हैं। ऐसे में रैखिक अंतर्वेशन एक मोटा-मोटी अनुमान होगा। लेकिन यदि अंतराल छोटा हो और बदलाव बहुत तेज़ न हो, तो ज़्यादातर व्यावहारिक कामों में यह एक अच्छा पहला अनुमान देता है।

कुछ छोटे नुकसान

X₁ और X₂ एक जैसे नहीं होने चाहिए। क्योंकि ढलान के हिसाब में हर बनता है:

\[
X_2-X_1
\]

अगर यह अंतर 0 हो, तो भाग अपरिभाषित होता है। यानी एक जैसे X मान वाले दो बिंदुओं से मानक रैखिक अंतर्वेशन नहीं कर सकते।

X₁ और Y₁ एक ही बिंदु के होने चाहिए। X₂ और Y₂ दूसरे बिंदु के। मानों को उलट-पलटकर लिखा तो हिसाब फिर भी कोई संख्या देगा, मगर वह संख्या ग़लत रेखा पर होगी।

दशमलव वाले नतीजे सामान्य हैं। बल्कि ज़्यादातर असली डेटा में नतीजा दशमलव में ही आता है। कैलकुलेटर नतीजे को किसी निश्चित दशमलव स्थान तक पूर्णांकित कर सकता है; बहुत बारीक काम कर रहे हों तो इस पूर्णांकन का अलग से ध्यान रखना पड़ता है।

ख़ैर, काम की तह यह है: दो बिंदु सही-सही डालिए, जिस एक मान की तलाश है उसे खाली छोड़िए, और जो नतीजा निकले वह दायरे के भीतर माकूल बैठता है या नहीं, जाँच लीजिए। रैखिक अंतर्वेशन का व्यावहारिक इस्तेमाल काफ़ी हद तक यही है।